Любое натуральное число можно представить в виде суммы разнорядных слагаемых:
В данной записи ан, ан-1, ан-2, ..а0 - это цифры в записи данного числа, а 10н, 10н-1, …100 - разрядные числа (или разрядные единицы).
Признак делимости на 2 и 5. Если число, обозначаемое последней цифрой в записи данного числа делится на 2 или 5, то и все число разделится на 2 или5. Доказательство. Запишем данное число а в виде суммы разрядных слагаемых: а=ан·10н+ан-1·10н-1+ан-2·10н-2+…а2·102+а1·101+а0·100. . В данной сумме каждое слагаемое, кроме последнего, содержит степень числа 10, а значит каждое из этих слагаемых, будет делиться на 2 или 5. Последнее слагаемое а0*100=а0*1=а0 есть последняя цифра в записи данного числа. И если число, обозначаемое последней цифрой в записи данного числа, будет делиться на 2 или 5, то по достаточному признаку делимости и все число будет делиться на 2 или 5.
Признак делимости на 4 и 25. Если число, образованное двумя последними цифрами в записи данного числа а, делится на 4 или 25, то и все число будет делиться на 4 и 25. Доказательство. Пусть дано число а. Представим его в виде суммы разрядных слагаемых
а=ан·10н+ан-1·10н-1+ан-2·10н-2+…а2·102+а1·101+а0·100.
В данной сумме каждое слагаемое кроме последних двух содержит степень числа 10, которая будет делиться на 4 или 25. Последние два слагаемых а1*101+а0 есть число записанное двумя последними цифрами в записи данного числа а, а значит, если сумма а1*101+а0 делится на 4 или 25, то и все число а будет делиться на 4 или 25.
Признак делимости на 3. Если сумма цифр в записи данного числа делится на 3, то и все число будет делиться на 3. Доказательство. Пусть дано число а. Представим его в виде суммы разрядных слагаемых:
а=ан·10н+ан-1·10н-1+ан-2·10н-2+…а2·102+а1·101+а0·100.
Рассмотрим разрядные единицы или степени числа 10 и представим каждое из них по теореме делимости с остатком в виде равенств.
- 100=0·3+1
- 101=3·3+1
- 102=33·3+1
- 103=333·3+1
- 10н=33…3*3+1
Заменим в данном числе каждую степень числа 10 на полученные суммы:
а=ан·(333…н раз 3·3+1)+ан-1· (33…н-1 раз 3·3+1)+…+а2· (33·3+1)+а1· (3·3+1)+а0· (0·3+1)=(ан·333…н раз 3·3+ан-1·33…п-1 раз 3·3+а2·33·3+а1·3·3+а0·0·3)+(ан+ан-1+…+а2+а1+а0)
первое слагаемое в данной сумме, записанное в первой скобке, будет делиться на 3 по достаточному признаку делимости суммы, т.к. каждое из слагаемых, записанных в первой скобке, содержит множитель 3 и по достаточному признаку делимости произведения будет делиться на 3. Значит, для того чтобы все число а делилось на 3 достаточно, чтобы второе слагаемое, записанное во второй скобке, делилось на 3. Это второе слагаемое есть сумма цифр в записи данного числа.
Признак делимости на 9. Если сумма цифр в записи данного числа делится на 9, то и все число делится на 9. Доказательство. Пусть дано число а. Представим его в виде суммы разрядных слагаемых.
а=ан·10н+ан-1·10н-1+ан-2·10н-2+…а2·102+а1·101+а0·100.
Рассмотрим разрядные единицы (степень числа 10). Каждая разрядная единица при делении на 9 дает в остатке 1, тогда по теореме о делимости с остатком, каждую степень числа 10 представим в виде равенства:
- 100=0·9+1
- 10=9+1
- 100=99+1
- 1000=999+1
- 10н=99…н раз 9+1
Заменим степень числа 10 полученными равенствами, тогда:
а=ан·(99…н раз 9+1)+ан-1·(99…н-1 раз 9+1)+…+а2·(99+1)+а1·(9+1)+а0·(0·9+1)=ан·99…н раз 9+ан-1·99…н-1 раз 9+а2·99+а1·9+а0·0·9)+(ан+ан-1+…+а2+а1+а0)
По достаточному признаку делимости произведения каждое слагаемое записанное в первой скобке делится на 9, следовательно по достаточному признаку делимости суммы все выражение записанное в первой скобке, будет делиться на 9. Значит, для того, чтобы все число делилось на 9 необходимо и достаточно, чтобы выражение, записанное во второй скобке, делилось на 9. Это выражение есть сумма цифр в записи данного числа.
Признак делимости на 2Число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится на 2, то есть является чётной.
Признак делимости на 3
Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3.
Признак делимости на 4
Число делится на 4 тогда и только тогда, когда число из двух последних его цифр нули или делится на 4.
Признак делимости на 5
Число делится на 5 тогда и только тогда, когда последняя цифра делится на 5 (то есть равна 0 или 5).
Признак делимости на 6
Число делится на 6 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 3.
Признак делимости на 7
Число делится на 7 тогда и только тогда, когда результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7 (например, 259 делится на 7, так как 25 - (2 · 9) = 7 делится на 7).
Признак делимости на 8
Число делится на 8 тогда и только тогда, когда три его последние цифры - нули или образуют число, которое делится на 8.
Признак делимости на 9
Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.
Признак делимости на 10
Число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на ноль.
Признак делимости на 11
Число делится на 11 тогда и только тогда, когда сумма цифр с чередующимися знаками делится на 11 (то есть 182919 делится на 11, так как 1 - 8 + 2 - 9 + 1 - 9 = -22 делится на 11) - следствие факта, что все числа вида 10 n при делении на 11 дают в остатке (-1) n .
Признак делимости на 12
Число делится на 12 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и на 4.
Признак делимости на 13
Число делится на 13 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с учетверённым числом единиц, кратно 13 (например, 845 делится на 13, так как 84 + (4 · 5) = 104 делится на 13).
Признак делимости на 14
Число делится на 14 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 7.
Признак делимости на 15
Число делится на 15 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и на 5.
Признак делимости на 17
Число делится на 17 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с увеличенным в 12 раз числом единиц, кратно 17 (например, 29053→2905+36=2941→294+12=306→30+72=102→10+24=34. Поскольку 34 делится на 17, то и 29053 делится на 17). Признак не всегда удобен, но имеет определенное значение в математике. Есть способ немного попроще – Число делится на 17 тогда и только тогда, когда разность между числом его десятков и упятеренным числом единиц, кратно 17(например, 32952→3295-10=3285→328-25=303→30-15=15. поскольку 15 не делится на 17, то и 32952 не делится на 17)
Признак делимости на 19
Число делится на 19 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, кратно 19 (например, 646 делится на 19, так как 64 + (6 · 2) = 76 делится на 19).
Признак делимости на 23
Число делится на 23 тогда и только тогда, когда число его сотен, сложенное с утроенным числом десятков, кратно 23 (например, 28842 делится на 23, так как 288 + (3 * 42) = 414 продолжаем 4 + (3 * 14) = 46 очевидно делится на 23).
Признак делимости на 25
Число делится на 25 тогда и только тогда, когда две его последние цифры делятся на 25 (то есть образуют 00, 25, 50 или 75)или число кратно 5.
Признак делимости на 99
Разобьем число на группы по 2 цифры справа налево (в самой левой группе может быть одна цифра) и найдем сумму этих групп, считая их двузначными числами. Эта сумма делится на 99 тогда и только тогда, когда само число делится на 99.
Признак делимости на 101
Разобьем число на группы по 2 цифры справа налево (в самой левой группе может быть одна цифра) и найдем сумму этих групп с переменными знаками, считая их двузначными числами. Эта сумма делится на 101 тогда и только тогда, когда само число делится на 101. Например, 590547 делится на 101, так как 59-05+47=101 делится на 101).
Признак делимости - это правило, позволяющее быстро определить, является ли число кратным заранее заданному числу, без необходимости выполнять деление. Рассмотрим несколько основных признаков деления:
Признак делимости на 2 n
Число делится на n-ю степень двойки тогда и только тогда, когда число, образованное его последними n цифрами, делится на ту же степень.
Признак делимости на 5 n
Число делится на n-ю степень пятёрки тогда и только тогда, когда число, образованное его последними n цифрами, делится на ту же степень.
Признак делимости на 10 n -1
Разобьем число на группы по n цифр справа налево (в самой левой группе может быть от 1 до n цифр) и найдем сумму этих групп, считая их n-значными числами. Эта сумма делится на 10 n — 1 тогда и только тогда, когда само число делится на 10 n — 1.
Признак делимости на 10 n
Число делится на n-ю степень десятки тогда и только тогда, когда n его последних цифр — нули.
Признак делимости на 10 n +1
Разобьем число на группы по n цифр справа налево (в самой левой группе может быть от 1 до n цифр) и найдем сумму этих групп с переменными знаками, считая их n-числами. Эта сумма делится на 10 n + 1 тогда и только тогда, когда само число делится на 10 n + 1.
Признак делимости на 2
Число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится на 2, то есть является чётной.
Признак делимости на 3
Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3.
Признак делимости на 4
Число делится на 4 тогда и только тогда, когда число из двух последних его цифр нули или делится на 4.
Признак делимости на 5
Число делится на 5 тогда и только тогда, когда последняя цифра делится на 5 (то есть равна 0 или 5).
Признак делимости на 6
Число делится на 6 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 3.
Признак делимости на 7
Число делится на 7 тогда и только тогда, когда результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7 (например, 259 делится на 7, так как 25 - (2 · 9) = 7 делится на 7).
Признак делимости на 8
Число делится на 8 тогда и только тогда, когда три его последние цифры — нули или образуют число, которое делится на 8.
Признак делимости на 9
Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.
Признак делимости на 10
Признак делимости на 11
Число делится на 11 тогда и только тогда, когда сумма цифр с чередующимися знаками делится на 11 (то есть 182919 делится на 11, так как 1 — 8 + 2 — 9 + 1 — 9 = -22 делится на 11) - следствие факта, что все числа вида 10 n при делении на 11 дают в остатке (-1) n .
Признак делимости на 12
Число делится на 12 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и на 4.
Признак делимости на 13
Число делится на 13 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с учетверённым числом единиц, кратно 13 (например, 845 делится на 13, так как 84 + (4 · 5) = 104 делится на 13).
Признак делимости на 14
Число делится на 14 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 7.
Признак делимости на 15
Число делится на 15 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и на 5.
Признак делимости на 17
Число делится на 17 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с увеличенным в 12 раз числом единиц, кратно 17 (например, 29053→2905+36=2941→294+12=306→30+72=102→10+24=34. Поскольку 34 делится на 17, то и 29053 делится на 17). Признак не всегда удобен, но имеет определенное значение в математике. Есть способ немного попроще – Число делится на 17 тогда и только тогда, когда разность между числом его десятков и упятеренным числом единиц, кратно 17(например, 32952→3295-10=3285→328-25=303→30-15=15. поскольку 15 не делится на 17, то и 32952 не делится на 17)
Признак делимости на 19
Число делится на 19 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, кратно 19 (например, 646 делится на 19, так как 64 + (6 · 2) = 76 делится на 19).
Признак делимости на 23
Число делится на 23 тогда и только тогда, когда число его сотен, сложенное с утроенным числом десятков, кратно 23 (например, 28842 делится на 23, так как 288 + (3 * 42) = 414 продолжаем 4 + (3 * 14) = 46 очевидно делится на 23).
Признак делимости на 25
Число делится на 25 тогда и только тогда, когда две его последние цифры делятся на 25 (то есть образуют 00, 25, 50 или 75)или число кратно 5.
Признак делимости на 99
Разобьем число на группы по 2 цифры справа налево (в самой левой группе может быть одна цифра) и найдем сумму этих групп, считая их двузначными числами. Эта сумма делится на 99 тогда и только тогда, когда само число делится на 99.
Признак делимости на 101
Разобьем число на группы по 2 цифры справа налево (в самой левой группе может быть одна цифра) и найдем сумму этих групп с переменными знаками, считая их двузначными числами. Эта сумма делится на 101 тогда и только тогда, когда само число делится на 101. Например, 590547 делится на 101, так как 59-05+47=101 делится на 101).
Признаки делимости натуральных чисел на 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 25 и разрядную единицу
Для упрощения деления натуральных чисел были выведены правила деления на числа первого десятка и числа 11, 25, которые объединены в раздел признаков делимости натуральных чисел . Ниже приводятся правила, по которым анализ числа без его деления на другое натуральное число даст ответ на вопрос, кратно ли натуральное число числам 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 25 и разрядной единице?
Натуральные числа, имеющие в первом разряде цифры (оканчивающиеся на) 2,4,6,8,0, называются четными.
Признак делимости чисел на 2
На 2 делятся все четные натуральные числа, например: 172, 94,67 838, 1670.
Признак делимости чисел на 3
На 3 делятся все натуральные числа, сумма цифр которых кратна 3. Например:
39 (3 + 9 = 12; 12: 3 = 4);
16 734 (1 + 6 + 7 + 3 + 4 = 21; 21:3 = 7).
Признак делимости чисел на 4
На 4 делятся все натуральные числа, две последние цифры которых составляют нули или число, кратное 4. Например:
124 (24: 4 = 6);
103 456 (56: 4 = 14).
Признак делимости чисел на 5
Признак делимости чисел на 6
На 6 делятся те натуральные числа, которые делятся на 2 и на 3 одновременно (все четные числа, которые делятся на 3). Например: 126 (б - четное, 1 + 2 + 6 = 9, 9: 3 = 3).
Признак делимости чисел на 9
На 9 делятся те натуральные числа, сумма цифр которых кратна 9. Например:
1179 (1 + 1 + 7 + 9 = 18, 18: 9 = 2).
Признак делимости чисел на 10
Признак делимости чисел на 11
На 11 делятся только те натуральные числа, у которых сумма цифр, занимающих четные места, равна сумме цифр, занимающих нечетные места, или разность суммы цифр нечетных мест и суммы цифр четных мест кратна 11. Например:
105787 (1 + 5 + 8 = 14 и 0 + 7 + 7 = 14);
9 163 627 (9 + 6 + б + 7 = 28 и 1 + 3 + 2 = 6);
28 - 6 = 22; 22: 11 = 2).
Признак делимости чисел на 25
На 25 делятся те натуральные числа, две последние цифры которых - нули или составляют число, кратное 25. Например:
2 300; 650 (50: 25 = 2);
1 475 (75: 25 = 3).
Признак делимости чисел на разрядную единицу
На разрядную единицу делятся те натуральные числа, у которых количество нулей больше или равно количеству нулей разрядной единицы. Например: 12 000 делится на 10, 100 и 1000.
Признаки делимости
Признаки делимости на 2, 4, 8, 3, 9, 6, 5, 25, 10, 100, 1000, 11.
Признак делимости на 2. Число делится на 2, если его последняя цифра — ноль или делится на 2. Числа, делящиеся на два, называются чётными , не делящиеся на два – нечётными .
Признак делимости на 4. Число делится на 4, если две его последние цифры — нули или образуют число, которое делится на 4.
Признак делимости на 8. Число делится на 8, если три его последние цифры — нули или образуют число, которое делится на 8.
Признаки делимости на 3 и 9. Число делится на 3, если его сумма цифр делится на 3. Число делится на 9, если его сумма цифр делится на 9.
Признак делимости на 6. Число делится на 6, если оно делится на 2 и на 3.
Признак делимости на 5. Число делится на 5, если его последняя цифра — ноль или 5.
Признак делимости на 25. Число делится на 25, если две его последние цифры — нули или образуют число, которое делится на 25.
Признак делимости на 10. Число делится на 10, если его последняя цифра — ноль.
Признак делимости на 100. Число делится на 100, если две его последние цифры – нули.
Признак делимости на 1000. Число делится на 1000, если три его последние цифры – нули.
Признак делимости на 11. На 11 делятся только те числа, у которых сумма цифр , стоящих на нечётных местах , либо равна сумме цифр, стоящих на чётных местах , либо отличается от неё на число, делящееся на 11.
Существуют признаки делимости и для некоторых других чисел, однако они более сложные и в программе средней школы не рассматриваются.
П р и м е р. Число 378015 делится на 3, так как сумма его цифр равна:
3 + 7 + 8 + 0 + 1 + 5 = 24, а это число делится на 3. Данное
число делится на 5, так как его последняя цифра 5. Наконец,
это число делится на 11, так как суммы его нечётных цифр:
3 + 8 + 1 = 12 и чётных цифр 7 + 0 + 5 = 12 равны.
Но это число не делится на 2, 4, 6, 8, 9, 10, 25, 100 и 1000, так как …
А вот эти случаи вы проверите самостоятельно!
Свойства делимости чисел
Чётное число – это число, которое делится на 2 .
Нечётное число – не делится на 2 .
Число делится на два, в том случае если его последняя цифра является чётной или нуль. Во всех остальных случаях – не делится.
Число 52 738 делится на 2 , так как у него последняя цифра 8 которая является чётной.
Число 7691 не делится на 2 , так как цифра 1 находящаяся в конце нечетная.
Число 1250 делится на 2 , так как цифра, которая находится в конце нуль.
Число делится на 4 , при условии, если две последние его цифры нули либо образуют число, которое делится на 4 . В остальных случаях – не делится.
Число 31 800 делится на 4 , так как в его окончании находятся два нуля.
Число 325 734 не делится на 4 , так как крайние две цифры дают число 34 , которое не делится на 4 .
Число 15 608 делится на 4 , так как две конечные цифры 0 и 8 дают число 8 , которое делится на 4 .
Число делится на 8 , в случае, когда три последние цифры его нули или формируют число, делящееся на 8 . В остальных случаях – не делится.
Число 225 000 делится на 8 , так как оканчивается тремя нулями.
Число 180 004 не делится на 8 , так как три крайние цифры дают число 4 , которое не делится на 8 .
Число 112 120 делится на 8 так как три цифры находящиеся в конце дают число 120 , которое делится на 8 .
Можно указать аналогичные признаки и делимости на 16 , 32 , 64 и т. п., но это не будет иметь практического значения.
На число 3 делятся числа, сумма составляющих цифр которых делится на 3 .
На число 9 делятся числа, сумма составляющих цифр которых делится на 9 .
Число 17 835 делится на 3 и не может быть разделено на 9 , так как сумма его цифровых значений 1 + 7 + 8 + 3 + 5 = 24 может быть разделено на 3 и не делится на 9 .
Число 106 499 не может быть разделено ни на 3 , ни на 9 , так как составляющие его цифры в сумме даёт число 29 которое не делится как на 3 , так и на 9 .
Число 52 632 может быть разделено на 9 , так как сумма цифр входящих его состав 18 которое делится на 9 .
Число делится на 6 , когда оно может быть разделено одновременно на 2 и на 3 . В противном случае – не делится.
Число 126 может быть разделено на 6 , в виду того, что оно делится и на 2 и на 3 .
На 5 делятся те числа, у которых последняя цифра 0 или 5 . Другие – не делятся.
Число 240 может быть разделено на 5 , так как последняя цифра 0 .
Число 554 не делится на 5 , так как последняя цифра 4 .
На 25 можно разделит только те числа, у которых две крайние цифры нули либо формируют число, которое может быть разделено на 25 , например числа оканчивающиеся на 00 , 25 , 50 или 75 . Другие — не делятся.
Число 7150 можно разделить на 25 , так как оканчивается на 50 .
Число 4855 не получится разделить на 25 .
Числа делятся на 10 , когда последняя цифра является нулём.
Числа делятся на 100 , если две последние цифры этих чисел нули.
Числа делятся на 1000 , если три конечные цифры у них нули.
8200 можно разделить на 10 и на 100 .
542 000 можно разделить на 10 , 100 и 1000 .
На 11 можно разделить только те числа, у которых сумма цифр, находящихся на нечётных местах, или равна сумме цифр, находящихся на чётных местах, либо отличны от нее на число, которое делится на 11 .
103 785 можно разделить на 11 , так как 1 + 3 + 8 = 12 и 0 + 7 + 5 = 12
9 163 627 можно разделить на 11 , так как при вычитании из 28 числа 6 получается 22 , которое делится на 11 . (9 + 6 + 6 + 7 = 28) (1 + 3 + 2 = 6)
461 025 не может разделено на 11 , в виду того что числа 7 и 11 взаимно не ровны, а их разность 4 на 11 не разделить. (11 – 7 = 4),(4 + 1 + 2 = 7), (6 + 0 + 5 = 11).
Существуют признаки делимости так же и на другие числа, но эти признаки гораздо сложнее.
Урок математики «Признаки делимости чисел»
Разделы: Математика
Если для двух целых чисел a и b существует такое целое число q , что b q = a , то говорят, что число a делится на число b , или число а кратно числу b .
Признак делимости это алгоритм, позволяющий сравнительно быстро определить, является ли число кратным заранее заданному числу.
Если каждое слагаемое делится на некоторое число, то и сумма делится на это число.
Если в произведении хотя бы один из множителей делится на некоторое число, то и произведение делится на это число.
Признак делимости на 2.
Число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится на 2, то есть является четной.
1) 28
8 – четное число, значит, 28 делится на 2 без остатка.
2) 1346
6 – четное число, значит, 1346 делится на 2 без остатка.
Признак делимости на 3.
Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3 без остатка.
7 + 2 + 3 = 12
12 делится на 3 без остатка,
Значит, 723 делится на 3.
2 + 3 + 6 + 4 = 15
15 делиться на 3 без остатка, значит, 2364 делится на 3.
Признак делимости на 4.
Число делится на 4 тогда и только тогда, когда две его последние цифры составляют число, которое делится на 4.
1) 716
16 делится на 4, значит, число 716 делится на 4 без остатка.
2) 35636
36 делится на 4, значит, число 35636 делится на 4 без остатка.
Признаки делимости на 4.
Чтобы узнать делится ли двухзначное число на 4, можно половину единиц прибавить к десяткам, если сумма делится на 2, значит, число делится на 4.
1) 92
9 + 1 = 10 – четное число, значит, 92 делится на 4 без остатка
2) 68
6 + 4 = 10 – четно число, значит, 68 делится на 4 без остатка.
Признак делимости на 5.
Число делится на 5 только тогда, когда его последняя цифра 5 или 0.
1) 1380
Число 1380 оканчивается нулем, значит, число 1380 делится на 5 без остатка.
2) 24715
Число 24715 оканчивается пятеркой, значит, число 24715 делится на 5 без остатка.
Признак делимости на 6.
Число делится на 6 тогда, когда оно делится и на 2, и на 3 (то есть, если оно четное и сумма его цифр делится на 3).
948
Число 948 является чётным и сума его цифр, 9 + 4 + 8 = 21 делится на 3, значит, число 948 делится на 6 без остатка.
Признаки делимости на 7.
Число делится на 7 тогда и только тогда, когда результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7.
364
36 – (4 2) = 28
28: 7 = 4
Значит, число 364 делится на 7 без остатка.
Признак делимости на 8.
Число делится на 8 тогда и только тогда, когда число, образованное тремя его последними цифрами, делится на 8.
24816
816: 8 = 102.
Значит, число 24816 делится на 8 без остатка.
Признак делимости на 8.
Чтобы узнать, делится ли трехзначное число на 8, можно половину единиц прибавить к десяткам. У получившегося числа также половину единиц прибавить к десяткам. Если итоговая сумма делится на 2, значит, число делится на 8.
952
95 + 1 = 96
9 + 3 = 12
12: 2 = 6(делится на 2).
Значит, 952 делится на 8.
Признак делимости на 9.
Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9 без остатка.
27891
2 + 7 + 8 + 9 + 1 = 27
27: 9 = 3
Сумма делится на 9, значит, число 27891 делится на 9 без остатка.
Признак делимости на 10.
Число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на ноль.
1) 17310
Число 17310 оканчивается на ноль, значит, число 17310 делится на десять без остатка.
2) 236810
Число 236810 оканчивается на ноль, значит, число 236810 делится на десять без остатка.
Признак делимости на 11.
На 11 делятся только те числа, у которых сумма цифр занимающих нечетные места, либо равна сумме цифр, занимающих четные места, либо отличается от нее на число, делящееся на 11.
1) 103785
1 + 3 + 8 = 12
0 + 7 + 5 = 12
Значит, 103785 делится на 11 без остатка.
2) 9163627
9 + 6 + 6 + 7 = 28
1 + 3 + 2 = 6
28 – 6 = 22
22: 11 = 2
Значит, 9163627 делится на 11 без остатка.
Признак делимости на 13.
Число делится на 13 тогда и только тогда, когда сумма числа, полученного отбрасыванием последней цифры и учетверенной последней цифры, делится на 13.
845
84 + (4 5) = 104: 13
10 + (4 4) = 26: 13 = 2
Число 845 делится на 13 без остатка.
Признак делимости на 17.
Число делится на 17 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с увеличенным в 12 раз числом единиц, кратко 17.
Слайд 33. Пример:
29053
2905 + 36 = 2941
294 + 12 = 306
30 + 72 = 102
10 + 24 = 34
Так как 34: 17 = 2, то 29053 делится на 17 без остатка.
Признак делимости на 19.
Число делится на 19 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, кратно 19.
646
Так как 64 + (6 2) = 64 + 12 = 76
7 + (6 2) = 7 + 12 = 19
19 делится на 19, значит, 646 делится на 19 без остатка.
Признак делимости на 20.
Число делится на 20 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на 0 и его предпоследняя цифра делится на 2.
2740.
Число делится на 20, так как оканчивается на 0 и 4 – четное число.
Признак делимости на 23.
Число делится на 23 тогда и только тогда, когда число его сотен, сложенное с утроенным числом десятков и единиц, кратно 23.
28842
Число делится на 23, так как
288 + (3 42) = 414
4 + (3 14) = 46
46 делится на 23.
Признак делимости на 99.
Разобьем число на группы по 2 цифры справа налево (в самой левой группе может быть одна цифра) и найдем сумму этих групп, считая их двухзначными числами. Если эта сумма делится на 99, то и само число делится на 99.
122166
12 + 21 + 66 = 99
Число 99 делится на 99, значит, 122166 делится на 99 без остатка.
Признак делимости на 101.
Разобьем числа на группы по 2 цифры справа налево (в самой левой группе может быть одна цифра) и найдем алгебраическую сумму этих групп, с переменными знаками, считая их двухзначными числами.
Эта сумма делится на 101 тогда и только тогда, когда само число делится на 101.
При выезде с севера пенсия сохраняется Поменяется ли размер северной пенсии при переезде в другой регион? Поменяется ли размер пенсии человека, который проработал на крайнем севере более 20 лет, и оформил её там же, при переезде в другой регион, в частности республика […]
Признаки делимости натуральных чисел от 2 до 25 и на
Что такое признак делимости Признак делимости натурального числа n на m — способ быстро определить, делится ли n на m — быстрее, чем при попытке выполнить деление и посмотреть, какой остаток. Обычно признаки делимости используются для ускорения ручных расчётов, значительная их часть плохо приспособлена для программирования.
Признаки делимости на 2, 5, 10. Признаки делимости на 2, 5, 10 — самые простые из всех: достаточно лишь посмотреть на последнюю цифру числа. Признак делимости на 2: если число оканчивается на 0, 2, 4, 6 или 8, то число делится на два (то есть последняя цифра должна делиться на 2), иначе не делится. Признак делимости на 5: если последняя цифра числа — 0 или 5, то число делится на 5, иначе не делится. Признак делимости на 10: если число оканчивается на 0, оно делится на 10, иначе не делится. Признак делимости на 100: число должно оканчиваться на 00. Как определить, делится ли число на 1000, 10000 и т. д. , тут, видимо, и так ясно.
Признаки делимости на 3, 6, 9, 18 Признак делимости на 3: число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма цифр его делится на 3. Признак делимости на 6: если число одновременно делится на 2 и на 3, то оно делится на 6. Такой признак можно применить исходя из того, что числа 2 и 3 не имеют общих делителей, кроме 1. Признак делимости на 9: аналогично — если сумма цифр числа делится на 9, то и число делится на 9, иначе не делится. Поскольку 9 и 2 имеют в качестве общего делителя только 1, то: Признак делимости на 18: если число одновременно делится на 2 и 9, то оно делится на 18.
Признаки делимости на 20, 25 и 50 Если проверяемое число оканчивается на 00, 20, 40, 60, 80, то оно делится на 20, если на 00, 25, 50, 75, то оно делится на 25, если на 00 или 50, то оно делится на 50. Названные в этом абзаце признаки делимости, использующие две последние цифры, опираются на тот факт, что 20, 25, 50 — делители числа 100.
Один из признаков делимости на 7: утроенное количество десятков, сложенное с количеством единиц, делится на 7. Например, 231 делится на 7: 23 * 3 + 1 = 70 — делится на 7. 2009 делится на 7: 200 * 3 + 9 = 609; 60 * 3 + 9 = 189; 18 * 3 + 9 = 63 — делится на 7. Пусть s 1 — сумма цифр, занимающих нечётные позиции, s 2 — сумма цифр, занимающих чётные позиции. Если |s 1 -s 2| делится на 11, то и число делится на 11. Допустим, возьмём 7421 * 11 = 81631. s 1 = 8 + 6 + 1 = 15; s 2 = 3 + 1 = 4; |s 1 — s 2| = 11.
