Существуют объекты, которые способны изменять плотность падающего на них потока электромагнитного излучения, то есть либо увеличивать его, собирая в одну точку, либо уменьшать его путем рассеивания. Эти объекты называются линзами в физике. Рассмотрим подробнее этот вопрос.
Что представляют собой линзы в физике?
Под этим понятием подразумевают абсолютно любой объект, который способен изменять направление распространения электромагнитного излучения. Это общее определение линз в физике, под которое попадают оптические стекла, магнитные и гравитационные линзы.
В данной статье главное внимание будет уделено именно оптическим стеклам, которые представляют собой объекты, изготовленные из прозрачного материала, и ограниченные двумя поверхностями. Одна из этих поверхностей обязательно должна иметь кривизну (то есть являться частью сферы конечного радиуса), в противном случае объект не будет обладать свойством изменения направления распространения световых лучей.
Принцип работы линзы
Суть работы этого незамысловатого оптического объекта заключается в явлении преломления солнечных лучей. В начале XVII века знаменитый голландский физик и астроном Виллеброрд Снелл ван Ройен опубликовал закон преломления, который в настоящее время носит его фамилию. Формулировка этого закона следующая: когда солнечный свет переходит через границу раздела двух оптически прозрачных сред, то произведение синуса между лучом и нормалью к поверхности на коэффициент преломления среды, в которой он распространяется, является величиной постоянной.
Для пояснения вышесказанного приведем пример: пусть свет падает на поверхность воды, при этом угол между нормалью к поверхности и лучом равен θ 1 . Затем, световой пучок преломляется и начинает свое распространение в воде уже под углом θ 2 к нормали к поверхности. Согласно закону Снелла получим: sin(θ 1)*n 1 = sin(θ 2)*n 2 , здесь n 1 и n 2 - коэффициенты преломления для воздуха и воды, соответственно. Что такое коэффициент преломления? Это величина, показывающая, во сколько раз скорость распространения электромагнитных волн в вакууме больше таковой для оптически прозрачной среды, то есть n = c/v, где c и v - скорости света в вакууме и в среде, соответственно.
Физика возникновения преломления заключается в выполнении принципа Ферма, согласно которому свет движется таким образом, чтобы за наименьшее время преодолеть расстояние от одной точки к другой в пространстве.
Вид оптической линзы в физике определяется исключительно формой поверхностей, которые ее образуют. От этой формы зависит направление преломления падающего на них луча. Так, если кривизна поверхности будет положительной (выпуклой), то по выходе из линзы световой пучок будет распространяться ближе к ее оптической оси (см. ниже). Наоборот, если кривизна поверхности является отрицательной (вогнутой), тогда пройдя через оптическое стекло, луч станет удаляться от его центральной оси.
Отметим еще раз, что поверхность любой кривизны преломляет лучи одинаково (согласно закону Стелла), но нормали к ним имеют разный наклон относительно оптической оси, в результате получается разное поведение преломленного луча.
Линза, которая ограничена двумя выпуклыми поверхностями, называется собирающей. В свою очередь, если она образована двумя поверхностями с отрицательной кривизной, тогда она называется рассеивающей. Все остальные виды связаны с комбинацией указанных поверхностей, к которым добавляется еще и плоскость. Каким свойством будет обладать комбинированная линза (рассеивающим или собирающим), зависит от суммарной кривизны радиусов ее поверхностей.
Элементы линзы и свойства лучей
Для построения в линзах в физике изображений необходимо познакомиться с элементами этого объекта. Они приведены ниже:
- Главная оптическая ось и центр. В первом случае имеют в виду прямую, проходящую перпендикулярно линзе через ее оптический центр. Последний, в свою очередь, представляет собой точку внутри линзы, проходя через которую, луч не испытывает преломления.
- Фокусное расстояние и фокус - дистанция между центром и точкой на оптической оси, в которую собираются все падающие на линзу параллельно этой оси лучи. Это определение верно для собирающих оптических стекол. В случае рассеивающих линз собираться в точку будут не сами лучи, а мнимое их продолжение. Эта точка называется главным фокусом.
- Оптическая сила. Так называется величина, обратная фокусному расстоянию, то есть D = 1/f. Измеряется она в диоптриях (дптр.), то есть 1 дптр. = 1 м -1 .
Ниже приводятся основные свойства лучей, которые проходят через линзу:
- пучок, проходящий через оптический центр, не изменяет направления своего движения;
- лучи, падающие параллельно главной оптической оси, изменяют свое направление так, что проходят через главный фокус;
- лучи, падающие на оптическое стекло под любым углом, но проходящие через его фокус, изменяют свое направление распространения таким образом, что становятся параллельными главной оптической оси.
Приведенные выше свойства лучей для тонких линз в физике (так их называют, потому что не важно, какими сферами они образованы, и какой толщиной обладают, имеют значение только оптические свойства объекта) используются для построения изображений в них.
Изображения в оптических стеклах: как строить?
Ниже приведен рисунок, где подробно разобраны схемы построения изображений в выпуклой и вогнутой линзах объекта (красной стрелки) в зависимости от его положения.
Из анализа схем на рисунке следуют важные выводы:
- Любое изображение строится всего на 2-х лучах (проходящем через центр и параллельном главной оптической оси).
- Собирающие линзы (обозначаются со стрелками на концах, направленными наружу) могут давать как увеличенное, так и уменьшенное изображение, которое в свою очередь может быть реальным (действительным) или мнимым.
- Если предмет расположен в фокусе, то линза не образует его изображения (см. нижнюю схему слева на рисунке).
- Рассеивающие оптические стекла (обозначаются стрелками на их концах, направленными внутрь) дают независимо от положения предмета всегда уменьшенное и мнимое изображение.
Нахождение расстояния до изображения
Чтобы определять, на каком расстоянии появится изображение, зная положение самого предмета, приведем формулу линзы в физике: 1/f = 1/d o + 1/d i , где d o и d i - расстояние до предмета и до его изображения от оптического центра, соответственно, f - главный фокус. Если речь идет о собирающем оптическом стекле, тогда число f будет положительным. Наоборот, для рассеивающей линзы f - отрицательное.
Воспользуемся этой формулой и решим простую задачу: пусть предмет находится на расстоянии d o = 2*f от центра собирающего оптического стекла. Где появится его изображение?
Из условия задачи имеем: 1/f = 1/(2*f)+1/d i . Откуда: 1/d i = 1/f - 1/(2*f) = 1/(2*f), то есть d i = 2*f. Таким образом, изображение появится на расстоянии двух фокусов от линзы, но уже с другой стороны, чем сам предмет (об этом говорит положительный знак величины d i).
Краткая история
Любопытно привести этимологию слова "линза". Оно ведет происхождение от латинских слов lens и lentis, что означает "чечевица", поскольку оптические объекты по своей форме действительно похожи на плод этого растения.
Преломляющая способность сферических прозрачных тел была известна еще древним римлянам. Для этой цели они применяли круглые стеклянные сосуды, наполненные водой. Сами же стеклянные линзы начали изготавливаться только в XIII веке в Европе. Использовались они в качестве инструмента для чтения (современные очки или лупа).
Активное использование оптических объектов при изготовлении телескопов и микроскопов относится к XVII (в начале этого века Галилей изобрел первый телескоп). Отметим, что математическая формулировка закона преломления Стелла, без знания которой невозможно изготавливать линзы с заданными свойствами, была опубликована голландским ученым в начале того же XVII века.
Другие виды линз
Как было отмечено выше, помимо оптических преломляющих объектов, существуют также магнитные и гравитационные. Примером первых являются магнитные линзы в электронном микроскопе, яркий пример вторых заключается в искажении направления светового потока, когда он проходит вблизи массивных космических тел (звезд, планет).
1. Виды линз. Главная оптическая ось линзы
Линзой называют прозрачное для света тело, ограниченное двумя сферическими поверхностями (одна из поверхностей может быть плоской). Линзы, у которых середина толще, чем
края, называют выпуклыми, а те, у которых края толще середины, - вогнутыми. Выпуклая линза, изготовленная из вещества с оптической плотностью большей, чем у среды, в которой линза
находится, является собирающей, а вогнутая линза при тех же условиях - рассеивающей. Различные виды линз показаны на рис. 1: 1 - двояковыпуклая, 2 - двояковогнутая, 3 - плосковыпуклая, 4 - плосковогнутая, 3,4 - выпукловогнутая и вогнутовыпуклая.
Рис. 1. Линзы
Прямую О 1 О 2 , проходящую через центры сферических поверхностей, ограничивающих линзу, называют главной оптической осью линзы.
2. Тонкая линза, ее оптический центр.
Побочные оптические оси
Линзу, у которой толщина l
=|С 1 С 2 | (см. рис. 1) пренебрежимо мала по сравнению с радиусами кривизны R 1 и R 2 поверхностей линзы и расстоянием d от предмета до линзы, называют тонкой. В тонкой линзе точки С 1 и С 2 , являющиеся вершинами шаровых сегментов, расположены настолько близко друг к другу, что их можно принять за одну точку. Эту лежащую на главной оптической оси точку О, через которую световые лучи проходят, не изменяя своего направления, называют оптическим центром тонкой линзы. Любую прямую, проходящую через оптический центр линзы, называют ее оптической осью. Все оптические оси, кроме главной, называют побочными оптическими осями.
Световые лучи, идущие вблизи главной оптической оси, называют параксиальными (приосевыми).
3. Главные фокусы и фокусные
расстояния линзы
Точку F на главной оптической оси, в которой пересекаются после преломления приосевые лучи, падающие на линзу параллельно главной оптической оси (или же продолжения этих преломленных лучей), называют главным фокусом линзы (рис. 2 и 3). Любая линза имеет два главных фокуса, которые расположены по обе стороны от нее симметрично ее оптическому центру.
Рис. 2 Рис. 3
У собирающей линзы (рис. 2) фокусы действительные, а у рассеивающей (рис. 3) - мнимые. Расстояние |ОР| = F от оптического центра линзы до ее главного фокуса называют фокусным. У собирающей линзы фокусное расстояние считают положительным, а у рассеивающей линзы - отрицательным.
4. Фокальные плоскости линзы, их свойства
Плоскость, проходящая через главный фокус тонкой линзы перпендикулярно главной оптической оси, называют фокальной. У каждой линзы есть две фокальные плоскости (М 1 М 2 и М 3 М 4 на рис. 2 и 3), которые расположены по обе стороны от линзы.
Лучи света, падающие на собирающую линзу параллельно какой-либо ее побочной оптической оси, после преломления в линзе сходятся в точке пересечения этой оси с фокальной плоскостью (в точке F’ на рис. 2). Эту точку называют побочным фокусом.
Формулы линзы
5.Оптическая сила линзы
Величину D, обратную фокусному расстоянию линзы, называют оптической силой линзы:
D =1/F (1)
У собирающей линзы F>0, следовательно, D>0, а у рассеивающей линзы F<0, следовательно, D<0, т.е. оптическая сила собирающей линзы положительна, а рассеивающей - отрицательна.
За единицу оптической силы принимают оптическую силу такой линзы, фокусное расстояние которой равно 1 м; эту единицу называют диоптрией (дптр):
1 дптр = = 1 м -1
6. Вывод формулы тонкой линзы на основе
геометрического построения хода лучей
Пусть перед собирающей линзой находится светящийся предмет АВ (рис. 4). Для построения изображения этого предмета необходимо построить изображения его крайних точек, причем удобно выбирать такие лучи, построение которых окажется наиболее простым. Таких лучей, в общем случае, может быть три:
а) луч АС, параллельный главной оптической оси, после преломления проходит через главный фокус линзы, т.е. идет по прямой CFA 1 ;
Рис. 4
б) луч АО, идущий через оптический центр линзы не преломляется и тоже приходит в точку А 1 ;
в) луч АВ, идущий через передний фокус линзы, после преломления идет параллельно главной оптической оси по прямой DA 1 .
Все три указанных луча где получается действительное изображение точки А. Опустив перпендикуляр из точки А 1 на главную оптическую ось, находим точку В 1 , являющуюся изображением точки В. Для построения изображения светящейся точки достаточно использовать два из трех перечисленных лучей.
Введем следующие обозначения |OB| = d – расстояние предмета от линзы, |OB 1 | = f – расстояние от линзы до изображения предмета, |OF| = F – фокусное расстояние линзы.
Используя рис. 4, выведем формулу тонкой линзы. Из подобия треугольников АОВ и А 1 ОВ 1 следует, что
(2)
Из подобия треугольников COF и A 1 FB 1 следует, что
а так как |AB| = |CO|, то
(4)
Из формул (2) и (3) следует, что
(5)
Поскольку |OB1|= f, |OB| = d, |FB1| = f – F и |OF| = F, формула (5) принимает вид f/d = (f – F)/F, откуда
FF = df – dF (6)
Разделив почленно формулу (6) на произведение dfF, получим
(7)
откуда
(8)
С учетом (1) получим
(9)
Соотношения (8) и (9) называют формулой тонкой собирающей линзы.
У рассеивающей линзы F<0, поэтому формула тонкой рассеивающей линзы имеет вид
(10)
7. Зависимость оптической силы линзы от кривизны ее поверхностей
и показателя преломления
Фокусное расстояние F и оптическая сила D тонкой линзы зависят от радиусов кривизны R 1 и R 2 ее поверхностей и относительного показателя преломления n 12 вещества линзы относительно окружающей среды. Эта зависимость выражается формулой
(11)
(12)
Если одна из поверхностей линзы плоская (для нее R= ∞), то соответствующий ей член 1/R в формуле (12) равен нулю. Если поверхность вогнутая, то соответствующий ей член 1/R входит в эту формулу со знаком минус.
Знак правой части формулыm (12) определяет оптические свойства линзы. Если он положителен, то линза является собирающей, а если отрицателен - рассеивающей. Например, у двояковыпуклой стеклянной линзы, находящейся в воздухе, (n 12 - 1) >0 и
т.е. правая часть формулы (12) положительна. Поэтому такая линза в воздухе является собирающей. Если же ту же самую линзу поместить в прозрачную среду с оптической плотностью
большей, чем у стекла (например, в сероуглерод), то она станет рассеивающей, поскольку в этом случае у нее (n 12 - 1) <0 и, хотя
, знак у правой части формулы/(17.44) станет
отрицательным.
8.Линейное увеличение линзы
Размер изображения, создаваемого линзой, изменяется в зависимости от положения предмета относительно линзы. Отношение размера изображения к размеру изображаемого предмета называют линейным увеличением и обозначают Г.
Обозначим h размер предмета АВ и H - размер А 1 В 2 - его изображения. Тогда из формулы (2) следует, что
(13)
10. Построение изображений в собирающей линзе
В зависимости от расстояния d предмета от линзы могут быть шесть различных случаев построения изображения этого предмета:
а) d =∞. В данном случае световые лучи от предмета падают на линзу параллельно либо главной, либо какой-нибудь побочной оптической оси. Такой случай изображен на рис. 2, из которого видно, что если предмет бесконечно удален от линзы, то изображение предмета действительное, в виде точки, находится в фокусе линзы (главном или побочном);
б) 2F < d <∞. Предмет находится на конечном расстоянии от линзы большем, чем ее удвоенное фокусное расстояние (см. рис. 3). Изображение предмета действительное, перевернутое, уменьшенное находится между фокусом и точкой, отстоящей от линзы на двойное фокусное расстояние. Проверить правильность построения данного изображения можно
путем расчета. Пусть d= 3F, h = 2 см. Из формулы (8) следует, что
(14)
Так как f > 0, изображение действительное. Оно находится за линзой на расстоянии ОВ1=1,5F. Всякое действительное изображение является перевернутым. Из формулы
(13) следует, что
; H = 1 см
т. е. изображение уменьшенное. Аналогично с помощью расчета, основанного на формулах (8), (10) и (13), можно проверить правильность построения любого изображения в линзе;
в) d=2F. Предмет находится на двойном фокусном расстоянии от линзы (рис. 5). Изображение предмета действительное, перевернутое, равное предмету, находится за линзой на
двойном фокусном расстоянии от нее;
Рис. 5
г) F
Рис. 6
д) d= F. Предмет находится в фокусе линзы (рис. 7). В этом случае изображения предмета не существует (оно находится в бесконечности), поскольку лучи от каждой точки предмета после преломления в линзе идут параллельным пучком;
Рис. 7
е) d
Рис. 8
11. Построение изображений в рассеивающей линзе
Построим изображение предмета при двух различных его расстояниях от линзы (рис. 9). Из рисунка видно, что на каком бы расстоянии ни находился предмет от рассеивающей линзы, изображение предмета мнимое, прямое, уменьшенное находится между линзой и ее фокусом
со стороны изображаемого предмета.
Рис. 9
Построение изображений в линзах с помощью побочных осей и фокальной плоскости
(Построение изображения точки, лежащей на главной оптической оси)
Рис. 10
Пусть светящаяся точка S находится на главной оптической оси собирающей линзы (рис. 10). Чтобы найти, где образуется ее изображение S’, проведем из точки S два луча: луч SO вдоль главной оптической оси (он проходит через оптический центр линзы, не преломляясь) и луч SВ, падающий на линзу в произвольной точке В.
Начертим фокальную плоскость ММ 1 линзы и проведем побочную ось ОF’, параллельную лучу SВ (показана штриховой линией). Она пересечется с фокальной плоскостью в точке S’.
Как отмечалось в п. 4, через эту точку F должен пройти луч после преломления в точке В. Этот луч ВF’S’ пересекается с лучом SOS’ в точке S’, которая и является изображением светящейся точки S.
Построение изображения предмета, размер которого больше линзы
Пусть предмет АВ расположен на конечном расстоянии от линзы (рис. 11). Чтобы найти, где получится изображение этого предмета, проведем из точки А два луча: луч АОА 1 , прохоходящий через оптический центр линзы без преломления, и луч АС, падающий на линзу в произвольной точке С. Начертим фокальную плоскость ММ 1 линзы и проведем побочную ось ОF’, параллельную лучу АС (показана штриховой линией). Она пересечется с фокальной плоскостью в точке F’.
Рис. 11
Через эту точку F’ пройдет луч, преломившийся в точке С. Этот луч СF’А 1 пересекается с лучом АОА 1 в точке А 1 , которая и является изображением светящейся точки А. Чтобы получить все изображение А 1 В 1 предмета АВ, опускаем перпендикуляр из точки А 1 на главную оптическую ось.
Лупа
Известно, что для того, чтобы увидеть на предмете мелкие детали, их нужно рассматривать под большим углом зрения, но увеличение этого угла ограничено пределом аккомодационных возможностей глаза. Увеличить угол зрения (сохраняя расстояние наилучшего зрения d o) можно, используя оптические приборы {лупы, микроскопы}.
Лупой называют короткофокусную двояковыпуклую линзу или систему линз, действующих как одна собирающая линза обычно фокусное расстояние лупы не превышает 10см).
Рис. 12
Ход лучей в лупе покаpан на рис. 12. Лупу помещают близко к глазу,
а рассматриваемый предмет AВ=A 1 В 1 располагают между лупой и ее передним фокусом, чуть ближе последнего. Подбирают положение лупы между глазом и предметом так, чтобы видеть резкое изображение предмета. Это изображение А 2 В 2 получается мнимым, прямым, увеличенным и находится на расстоянии наилучшего зрения |ОВ|=d о от глаза.
Как видно из рис. 12, использование лупы приводит к увеличению угла зрения, под которым глаз рассматривает предмет. Действительно, когда предмет находился в положении АВ и рассматривался невооруженным глазом, угол зрения был φ 1 . Предмет поместили между фокусом и оптическим центром лупы в положение А 1 В 1 , и угол зрения стал φ 2 . Поскольку φ 2 > φ 1 , это
значит, что с помощью лупы можно рассмотреть на предмете более мелкие детали, чем невооруженным глазом.
Из рис. 12 видно также, что линейное увеличение лупы
Так как |OB 2 |=d o , а |ОВ|≈F (фокусному расстоянию лупы), то
Г=d о /F,
следовательно, увеличение, даваемое лупой, равно отношению расстояния наилучшего зрения к фокусному расстоянию лупы.
Микроскоп
Микроскопом называют оптический прибор, служащий для рассматривания очень мелких предметов (в том числе невидимых невооруженным глазом) под большим углом зрения.
Микроскоп состоит из двух собирающих линз - короткофокусного объектива и длиннофокусного окуляра, расстояние между которыми может изменяться. Следовательно, F 1 <
Ход лучей в микроскопе показан на рис. 13. Объектив создает действительное, перевернутое, увеличенное промежуточное изображение А 1 В 2 предмета АВ.
Рис. 13
282.
Линейное увеличение
С помощью микрометриче-
ского винта окуляр помещают
относительно объектива таким
образом, чтобы это промежу-
точное изображение А\В\ ока-
залось между передним фоку-
сом Рч и оптическим центром
Оч окуляра. Тогда окуляр
становится лупой и создает мни-
мое, прямое (относительно про-
межуточного) и увеличенное
изображение ЛчВч предмета ав.
Его положение можно найти,
используя свойства фокальной
плоскости и побочных осей (ось
О^Р’ проводят параллельно лу-
чу 1, а ось ОчР» - параллель-
но лучу 2). Как видно из
рис. 282, использование микро-
скопа приводит к значительно-
му увеличению угла зрения,
под которым глаз рассматрива-
ет предмет (фа ^> фО, что поз-
воляет видеть детали, не ви-
димые невооруженным глазом.
микроскопа
\АМ 1Л2Й2 И|й||
Г=
\АВ\ |Л,5,| \АВ\
Так как \А^Вч\/\А\В\\== Гок-линейное увеличение окуляра и
\А\В\\/\АВ\== Гоб -линейное увеличение объектива, то линейное
увеличение микроскопа
(17.62)
Г== Гоб Гок.
Из рис. 282 видно, что
» |Л1Й,1 |0,Я||
\АВ\ 150,1 ‘
где 10,5, | = |0/7, | +1/^21+1ад1.
Обозначим 6 расстояние между задним фокусом объектива
и передним фокусом окуляра, т. е. 6 = \Р\Р’г\. Так как 6 ^> \ОР\\
и 6 » \Р2В\, то |0|5|1 ^ 6. Поскольку |05|| ^ Роб, получаем
б
Роб
(17.63)
Линейное увеличение окуляра определяют по той же формуле
(17.61), что и увеличение лупы, т. е.
384
Гок=
а»
Гок
(17.64)
(17.65)
Подставив (17.63) и (17.64) в формулу (17.62), получим
бйо
Г==
/^об/м
Формула (17.65) определяет линейное увеличение микроскопа.
Темы кодификатора ЕГЭ: построение изображений в линзах, формула тонкой линзы.
Правила хода лучей в тонких линзах, сформулированные в предыдущей теме , приводят нас к важнейшему утверждению.
Теорема об изображении. Если перед линзой находится светящаяся точка , то после преломления в линзе все лучи (или их продолжения) пересекаются в одной точке .
Точка называется изображением точки .
Если в точке пересекаются сами преломлённые лучи, то изображение называется действительным . Оно может быть получено на экране, так как в точке концентрируется энергия световых лучей.
Если же в точке пересекаются не сами преломлённые лучи, а их продолжения (так бывает, когда преломлённые лучи расходятся после линзы), то изображение называется мнимым. Его нельзя получить на экране, поскольку в точке не сосредоточено никакой энергии. Мнимое изображение, напомним, возникает благодаря особенности нашего мозга - достраивать расходящиеся лучи до их мнимого пересечения и видеть в этом пересечении светящуюся точку.Мнимое изображение существует лишь в нашем сознании.
Теорема об изображении служит основой построения изображений в тонких линзах. Мы докажем эту теорему как для собирающей, так и для рассеивающей линзы.
Собирающая линза: действительное изображение точки.
Сперва рассмотрим собирающую линзу. Пусть - расстояние от точки до линзы, - фокусное расстояние линзы. Имеются два принципиально разных случая: и (а также промежуточный случай ). Мы разберём эти случаи поочерёдно; в каждом из них мы
обсудим свойства изображений точечного источника и протяжённого объекта.
Первый случай: . Точечный источник света расположен дальше от линзы, чем левая фокальная плоскость (рис. 1 ).
Луч , идущий через оптический центр, не преломляется. Мы возьмём произвольный луч , построим точку , в которой преломлённый луч пересекается с лучом , а затем покажем, что положение точки не зависит от выбора луча (иными словами, точка является одной и той же для всевозможных лучей ). Тем самым окажется, что все лучи, исходящие из точки , после преломления в линзе пересекаются в точке и теорема об изображении будет доказана для рассматриваемого случая .
Точку мы найдём, построив дальнейший ход луча . Делать это мы умеем: параллельно лучу проводим побочную оптическую ось до пересечения с фокальной плоскостью в побочном фокусе , после чего проводим преломлённый луч до пересечения с лучом в точке .
Теперь будем искать расстояние от точки до линзы. Мы покажем, что это расстояние выражается только через и , т. е. определяется лишь положением источника и свойствами линзы, и не зависит тем самым от конкретного луча .
Опустим перпендикуляры и на главную оптическую ось. Проведём также параллельно главной оптической оси, т. е. перпендикулярно линзе. Получим три пары подобных треугольников:
, (1)
, (2)
. (3)
В результате имеем следующую цепочку равенств (номер формулы над знаком равенства указывает, из какой пары подобных треугольников данное равенство получено).
(4)
Но , так что соотношение (4) переписывается в виде:
. (5)
Отсюда находим искомое расстояние от точки до линзы:
. (6)
Как видим, оно и в самом деле не зависит от выбора луча . Следовательно, любой луч после преломления в линзе пройдёт через построенную нами точку , и эта точка будет действительным изображением источника
Теорема об изображении в данном случае доказана.
Практическая важность теоремы об изображении состоит вот в чём. Коль скоро все лучи источника пересекаются после линзы в одной точке - его изображении - то для построения изображения достаточно взять два наиболее удобных луча. Какие именно?
Если источник не лежит на главной оптической оси, то в качестве удобных лучей годятся следующие:
Луч, идущий через оптический центр линзы - он не преломляется;
- луч, параллельный главной оптической оси - после преломления он идёт через фокус.
Построение изображения с помощью этих лучей показано на рис. 2 .
Если же точка лежит на главной оптической оси, то удобный луч остаётся лишь один - идущий вдоль главной оптической оси. В качестве второго луча приходится брать "неудобный" (рис. 3 ).
Посмотрим ещё раз на выражение ( 5 ). Его можно записать в несколько ином виде, более симпатичном и запоминающемся. Перенесём сначала единицу влево:
Теперь разделим обе части этого равенства на a :
(7)
Соотношение (7) называется формулой тонкой линзы (или просто формулой линзы). Пока что формула линзы получена для случая собирающей линзы и для . В дальнейшем мы выведем модификации этой формулы для остальных случаев.
Теперь вернёмся к соотношению (6) . Его важность не исчерпывается тем, что оно доказывает теорему об изображении. Мы видим также, что не зависит от расстояния (рис. 1, 2 ) между источником и главной оптической осью!
Это означает, что какую бы точку отрезка мы ни взяли, её изображение будет находиться на одном и том же расстоянии от линзы. Оно будет лежать на отрезке - а именно, на пересечении отрезка с лучом , который пойдёт сквозь линзу без преломления. В частности, изображением точки будет точка .
Тем самым мы установили важный факт: изображением отрезка лужит отрезок . Отныне исходный отрезок, изображение которого нас интересует, мы называем предметом и обозначаем на рисунках красной стрелочкой. Направление стрелки нам понадобится для того, чтобы следить - прямым или перевёрнутым получается изображение.
Собирающая линза: действительное изображение предмета.
Перейдём к рассмотрению изображений предметов. Напомним, что пока мы находимся в рамках случая . Здесь можно выделить три характерных ситуации.
1. . Изображение предмета является действительным, перевёрнутым, увеличенным (рис. 4 ; двойной фокус обозначен ). Из формулы линзы следует, что в этом случае будет (почему?).
Такая ситуация реализуется, например, в диапроекторах и киноаппаратах - эти оптические приборы дают на экране увеличенное изображение того, что находится на плёнке. Если вам доводилось показывать слайды, то вы знаете, что слайд нужно вставлять в проектор перевёрнутым - чтобы изображение на экране выглядело правильно, а не получилось вверх ногами.
Отношение размера изображения к размеру предмета называется линейным увеличением линзы и обозначается Г - (это заглавная греческая "гамма"):
Из подобия треугольников и получим:
. (8)
Формула (8) применяется во многих задачах, где фигурирует линейное увеличение линзы.
2. . В этом случае из формулы (6) находим, что и . Линейное увеличение линзы согласно (8) равно единице, т. е. размер изображения равен размеру предмета (рис. 5 ).
Данная ситуация является обычной для многих оптических приборов: фотоаппаратов, биноклей, телескопов - словом, тех, в которых получают изображения удалённых объектов. По мере удаления предмета от линзы его изображение уменьшается в размерах и приближается к фокальной плоскости.
Рассмотрение первого случая нами полностью закончено. Переходим ко второму случаю. Он уже не будет столь объёмным.
Собирающая линза: мнимое изображение точки.
Второй случай: . Точечный источник света расположен между линзой и фокальной плоскостью (рис. 7 ).
Наряду с лучом , идущим без преломления, мы снова рассматриваем произвольный луч . Однако теперь на выходе из линзы получаются два расходящихся луча и . Наш глаз продолжит эти лучи до пересечения в точке .
Теорема об изображении утверждает, что точка будет одной и той же для всех лучей , исходящих из точки . Мы опять докажем это с помощью трёх пар подобных треугольников:
Снова обозначая через расстояние от до линзы, имеем соответствующую цепочку равенств (вы уже без труда в ней разберётесь):
. (9)
. (10)
Величина не зависит от луча , что и доказывает теорему об изображении для нашего случая . Итак, - мнимое изображение источника . Если точка не лежит на главной оптической оси, то для построения изображения удобнее всего брать луч, идущий через оптический центр, и луч, параллельный главной оптической оси (рис. 8 ).
Ну а если точка лежит на главной оптической оси, то деваться некуда - придётся довольствоваться лучом, падающим на линзу наклонно (рис. 9 ).
Соотношение (9) приводит нас к варианту формулы линзы для рассматриваемого случая . Сначала переписываем это соотношение в виде:
а затем делим обе части полученного равенства на a :
. (11)
Сравнивая (7) и (11) , мы видим небольшую разницу: перед слагаемым стоит знак плюс, если изображение действительное, и знак минус, если изображение мнимое.
Величина , вычисляемая по формуле (10) , не зависит также от расстояния между точкой и главной оптической осью. Как и выше (вспомните рассуждение с точкой ), это означает, что изображением отрезка на рис. 9 будет отрезок .
Собирающая линза: мнимое изображение предмета.
Учитывая это, мы легко строим изображение предмета, находящегося между линзой и фокальной плоскостью (рис. 10 ). Оно получается мнимым, прямым и увеличенным.
Такое изображение вы наблюдаете, когда разглядываете мелкий предмет в увеличительное стекло - лупу. Случай полностью разобран. Как видите, он качественно отличается от нашего первого случая . Это не удивительно - ведь между ними лежит промежуточный "катастрофический" случай .
Собирающая линза: предмет в фокальной плоскости.
Промежуточный случай:. Источник света расположен в фокальной плоскости линзы (рис. 11 ).
Как мы помним из предыдущего раздела, лучи параллельного пучка после преломления в собирающей линзе пересекутся в фокальной плоскости - а именно, в главном фокусе, если пучок падает перпендикулярно линзе, и в побочном фокусе при наклонном падении пучка. Воспользовавшись обратимостью хода лучей, мы заключаем, что все лучи источника , расположенного в фокальной плоскости, после выхода из линзы пойдут параллельно друг другу.
 |
| Рис. 11. a=f: изображение отсутствует |
Где же изображение точки ? Изображения нет. Впрочем, никто не запрещает нам считать, что параллельные лучи пересекаются в бесконечно удалённой точке. Тогда теорема об изображении сохраняет свою силу и в данном случае - изображение находится на бесконечности.
Соответственно, если предмет целиком расположен в фокальной плоскости, изображение этого предмета будет находиться на бесконечности (или, что то же самое, будет отсутствовать).
Итак, мы полностью рассмотрели построение изображений в собирающей линзе.
Рассеивающая линза: мнимое изображение точки.
К счастью, здесь нет такого разнообразия ситуаций, как для собирающей линзы. Характер изображения не зависит от того, на каком расстоянии предмет находится от рассеивающей линзы, так что случай тут будет один-единственный.
Снова берём луч и произвольный луч (рис. 12 ). На выходе из линзы имеем два расходящихся луча и , которые наш глаз достраивает до пересечения в точке .
Нам снова предстоит доказать теорему об изображении - о том, что точка будет одной и той же для всех лучей . Действуем с помощью всё тех же трёх пар подобных треугольников:
(12)
. (13)
Величина b не зависит от луча span
, поэтому продолжения всех преломлённых лучей span
пересекутся в точке - мнимом изображении точки . Теорема об изображении тем самым полностью доказана.
Вспомним, что для собирающей линзы мы получили аналогичные формулы (6) и (10) . В случае их знаменатель обращался в нуль (изображение уходило на бесконечность), и поэтому данный случай разграничивал принципиально разные ситуации и .
А вот у формулы (13) знаменатель не обращается в нуль ни при каком a. Стало быть, для рассеивающей линзы не существует качественно разных ситуаций расположения источника - случай тут, как мы и сказали выше, имеется только один.
Если точка не лежит на главной оптической оси, то для построения её изображения удобны два луча: один идёт через оптический центр, другой - параллельно главной оптической оси (рис. 13 ).
Если же точка лежит на главной оптической оси, то второй луч приходится брать произвольным (рис. 14 ).
Соотношение (13) даёт нам ещё один вариант формулы линзы. Сначала перепишем:
а потом разделим обе части полученного равенства на a :
(14)
Так выглядит формула линзы для рассеивающей линзы.
Три формулы линзы (7) , (11) и (14) можно записать единообразно:
если соблюдать следующую договорённость о знаках:
Для мнимого изображения величина считается отрицательной;
- для рассеивающей линзы величина считается отрицательной.
Это очень удобно и охватывает все рассмотренные случаи.
Рассеивающая линза: мнимое изображение предмета.
Величина , вычисляемая по формуле (13) , опять-таки не зависит от расстояния между точкой и главной оптической осью. Это снова даёт нам возможность построить изображение предмета , которое на сей раз получается мнимым, прямым и уменьшенным (рис. 15 ).
 |
| Рис. 15. Изображение мнимое, прямое, уменьшенное |
>> Формула тонкой линзы. Увеличение линзы
§ 65 ФОРМУЛА ТОНКОЙ ЛИНЗЫ. УВЕЛИЧЕНИЕ ЛИНЗЫ
Выведем формулу, связывающую три величины: расстояние d от предмета до линзы , расстояние f от изображения до линзы и фокусное расстояние F.
Из подобия треугольников АОВ и A 1 B 1 O (см. рис. 8.37) следует равенство
Уравнение (8.10), как и (8.11), принято называть формулой тонкой линзы. Величины d, f и. F могут быть как поло-нсительными, так и отрицательными. Отметим (без доказательства), что, применяя формулу линзы, нуншо ставить знаки перед членами уравнения согласно следующему правилу. Если линза собирающая, то ее фокус действительный, и перед членом ставят знак «+». В случае рассеивающей линзы F < 0 и в правой части формулы (8.10) будет стоять отрицательная величина. Перед членом ставят знак «+», если изображение действительное, и знак «-» в случае мнимого изображения. Наконец, перед членом ставят знак «+» в случае действительной светящейся точки и знак «-», если она мнимая (т. е. на линзу падает сходящийся пучок лучей, продолжения которых пересекаются в одной точке).
В том случае, когда F, f или d неизвестны, перед соответствующими членами ставят знак «+». Но если в результате вычислений фокусного расстояния или расстояния от линзы до изображения либо до источника получается отрицательная величина, то это означает, что фокус, изображение или источник мнимые.
Увеличение линзы . Изображение, получаемое с помощью линзы, обычно отличается своими размерами от предмета. Различие размеров предмета и изображения характеризуют увеличением.
Линейным увеличением называют отноптение линейного размера изображения к линейному размеру предмета.
Для нахождения линейного увеличения обратимся снова к рисунку 8.37. Если высота предмета АВ равна h, а высота изображения А 1 В 1 равна Н, то
есть линейное увеличение.
4. Постройте изображение предмета, помещенного перед собирающей линзой, в следующих случаях:
1) d > 2F; 2) d = 2F; 3) F < d < 2F; 4) d < F.
5. На рисунке 8.41 линия АВС изображает ход луча через тонкую рассеивающую линзу. Определите построением положения главных фокусов линзы.
6. Постройте изображение светящейся точки в рассеивающей линзе, используя три «удобных» луча.
7. Светящаяся точка находится в фокусе рассеивающей линзы. На каком расстоянии от линзы находится изображение? Постройте ход лучей.
Мякишев Г. Я., Физика. 11 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни / Г. Я. Мякишев, Б. В. Буховцев, В. М. Чаругин; под ред. В. И. Николаева, Н. А. Парфентьевой. - 17-е изд., перераб. и доп. - М. : Просвещение, 2008. - 399 с: ил.
Физика для 11 класса, учебники и книги по физике скачать , библиотека онлайн
Содержание урока конспект урока опорный каркас презентация урока акселеративные методы интерактивные технологии Практика задачи и упражнения самопроверка практикумы, тренинги, кейсы, квесты домашние задания дискуссионные вопросы риторические вопросы от учеников Иллюстрации аудио-, видеоклипы и мультимедиа фотографии, картинки графики, таблицы, схемы юмор, анекдоты, приколы, комиксы притчи, поговорки, кроссворды, цитаты Дополнения рефераты статьи фишки для любознательных шпаргалки учебники основные и дополнительные словарь терминов прочие Совершенствование учебников и уроков исправление ошибок в учебнике обновление фрагмента в учебнике элементы новаторства на уроке замена устаревших знаний новыми Только для учителей идеальные уроки календарный план на год методические рекомендации программы обсуждения Интегрированные урокиСейчас речь пойдет о геометрической оптике. В этом разделе много времени уделяется такому объекту, как линза. Ведь она может быть разной. При этом формула тонкой линзы одна на все случаи. Только нужно знать, как ее правильно применить.
Виды линз
Ею всегда является прозрачное для тело, которое имеет особенную форму. Внешний вид объекта диктуют две сферические поверхности. Одну из них допускается заменить на плоскую.
Причем у линзы может оказаться толще середина или края. В первом случае она будет называться выпуклой, во втором — вогнутой. Причем в зависимости от того, как сочетаются вогнутые, выпуклые и плоские поверхности, линзы тоже могут быть разными. А именно: двояковыпуклыми и двояковогнутыми, плосковыпуклыми и плосковогнутыми, выпукло-вогнутыми и вогнуто-выпуклыми.
В обычных условиях эти объекты используются в воздухе. Изготавливают их из вещества, которого больше, чем у воздуха. Поэтому выпуклая линза будет собирающей, а вогнутая — рассеивающей.
Общие характеристики
До того, как говорить о формуле тонкой линзы , нужно определиться с основными понятиями. Их обязательно нужно знать. Поскольку к ним постоянно будут обращаться различные задачи.
Главная оптическая ось — это прямая. Она проведена через центры обеих сферических поверхностей и определяет место, где находится центр линзы. Существуют еще дополнительные оптические оси. Они проводятся через точку, являющуюся центром линзы, но не содержат центры сферических поверхностей.
В формуле тонкой линзы есть величина, определяющая ее фокусное расстояние. Так, фокусом является точка на главной оптической оси. В ней пересекаются лучи, идущие параллельно указанной оси.
Причем фокусов у каждой тонкой линзы всегда два. Они расположены по обе стороны от ее поверхностей. Оба фокуса у собирающей действительные. У рассеивающей — мнимые.
Расстояние от линзы до точки фокуса — это фокусное расстояние (буква F ) . Причем его значение может быть положительным (в случае собирающей) или отрицательным (для рассеивающей).
С фокусным расстоянием связана еще одна характеристика — оптическая сила. Ее принято обозначать D. Ее значение всегда - величина, обратная фокусу, то есть D = 1/ F. Измеряется оптическая сила в диоптриях (сокращенно, дптр).
Какие еще обозначения есть в формуле тонкой линзы
Помимо уже указанного фокусного расстояния, потребуется знать несколько расстояний и размеров. Для всех видов линз они одинаковые и представлены в таблице.
Все указанные расстояния и высоты принято измерять в метрах.
В физике с формулой тонкой линзы связано еще понятие увеличения. Оно определяется как отношение размеров изображения к высоте предмета, то есть H/h . Его можно обозначить буквой Г.
Что нужно для построения изображения в тонкой линзе
Это необходимо знать, чтобы получить формулу тонкой линзы, собирающей или рассеивающей. Чертеж начинается с того, что обе линзы имеют свое схематическое изображение. Обе они выглядят как отрезок. Только у собирающей на его концах стрелки направлены наружу, а у рассеивающей - внутрь этого отрезка.
Теперь к этому отрезку необходимо провести перпендикуляр к его середине. Так будет изображена главная оптическая ось. На ней с обеих сторон от линзы на одинаковом расстоянии полагается отметить фокусы.
Предмет, изображение которого требуется построить, рисуется в виде стрелки. Она показывает, где находится верх предмета. В общем случае предмет помещается параллельно линзе.
Как построить изображение в тонкой линзе
Для того чтобы построить изображение предмета, достаточно найти точки концов изображения, а потом их соединить. Каждая из этих двух точек может получиться от пересечения двух лучей. Наиболее простыми в построении являются два из них.
Идущий из указанной точки параллельно главной оптической оси. После соприкосновения с линзой он идет через главный фокус. Если речь идет о собирающей линзе, то этот фокус находится за линзой и луч идет через него. Когда рассматривается рассеивающая, то луч нужно провести так, чтобы его продолжение проходило через фокус перед линзой.
Идущий непосредственно через оптический центр линзы. Он не изменяет за ней своего направления.
Бывают ситуации, когда предмет поставлен перпендикулярно главной оптической оси и заканчивается на ней. Тогда достаточно построить изображение точки, которая соответствует краю стрелки, не лежащей на оси. А потом провести из нее перпендикуляр к оси. Это и будет изображение предмета.
Пересечение построенных точек дает изображение. В тонкой собирающей линзе получается действительное изображение. То есть оно получается непосредственно на пересечении лучей. Исключением является ситуация, когда предмет помещен между линзой и фокусом (как в лупе), тогда изображение оказывается мнимым. У рассеивающей же оно всегда получается мнимым. Ведь оно получается на пересечении не самих лучей, а их продолжений.
Действительное изображение принято чертить сплошной линией. А вот мнимое - пунктиром. Связано это с тем, что первое на самом деле там присутствует, а второе только видится.
Вывод формулы тонкой линзы
Это удобно сделать на основе чертежа, иллюстрирующего построение действительного изображения в собирающей линзе. Обозначение отрезков указано на чертеже.
Раздел оптики не зря называется геометрической. Потребуются знания именно из этого раздела математики. Для начала необходимо рассмотреть треугольники АОВ и А 1 ОВ 1 . Они подобны, поскольку в них имеется по два равных угла (прямые и вертикальные). Из их подобия следует, что модули отрезков А 1 В 1 и АВ относятся как модули отрезков ОВ 1 и ОВ.
Подобными (на основании того же принципа по двум углам) оказываются еще два треугольника: COF и A 1 FB 1 . В них равны отношения уже таких модулей отрезков: А 1 В 1 с СО и FB 1 с OF. Исходя из построения равными будут отрезки АВ и СО. Поэтому левые части указанных равенств отношений одинаковые. Поэтому равны и правые. То есть ОВ 1 / ОВ равно FB 1 / OF.
В указанном равенстве отрезки, обозначенные точками, можно заменить на соответствующие физические понятия. Так ОВ 1 — это расстояние от линзы до изображения. ОВ является расстоянием от предмета до линзы. OF — фокусное расстояние. А отрезок FB 1 равен разности расстояния до изображения и фокуса. Поэтому его можно переписать по-другому:
f / d = ( f - F ) / F или Ff = df - dF.
Для вывода формулы тонкой линзы последнее равенство необходимо разделить на dfF. Тогда получается:
1/ d + 1/f = 1/F.
Это у есть формула тонкой собирающей линзы. У рассеивающей фокусное расстояние отрицательное. Это приводит к изменению равенства. Правда, оно незначительное. Просто в формуле тонкой рассеивающей линзы стоит минус перед отношением 1/ F. То есть:
1/ d + 1/f = - 1/F.
Задача о нахождении увеличения линзы
Условие. Фокусное расстояние собирающей линзы равно 0,26 м. Требуется вычислить ее увеличение, если предмет находится на расстоянии 30 см.
Решение. Его начать стоит с введения обозначений и перевода единиц в Си. Так, известны d = 30 см = 0,3 м и F = 0,26 м. Теперь нужно выбрать формулы, основная из них та, которая указана для увеличения, вторая — для тонкой собирающей линзы.
Их нужно как-то объединить. Для этого придется рассмотреть чертеж построения изображения в собирающей линзе. Из подобных треугольников видно, что Г = H/h = f/d. То есть для того, чтобы найти увеличение, придется вычислить отношение расстояния до изображения к расстоянию до предмета.
Второе известно. А вот расстояние до изображения полагается вывести из формулы, указанной ранее. Получается, что
f = dF / ( d - F ).
Теперь эти две формулы необходимо объединить.
Г = dF / ( d ( d - F )) = F / ( d - F ).
В этот момент решение задачи на формулу тонкой линзы сводится к элементарным расчетам. Осталось подставить известные величины:
Г = 0,26 / (0,3 - 0,26) = 0,26 / 0,04 = 6,5.
Ответ: линза дает увеличение в 6,5 раз.
Задача, в которой нужно найти фокус
Условие. Лампа расположена в одном метре от собирающей линзы. Изображение ее спирали получается на экране, отстоящем от линзы на 25 см. Вычислите фокусное расстояние указанной линзы.
Решение. В данные полагается записать такие величины: d =1 м и f = 25 см = 0,25 м. Этих сведений достаточно, чтобы из формулы тонкой линзы вычислить фокусное расстояние.
Так 1/ F = 1/1 + 1/0,25 = 1 + 4 = 5. Но в задаче требуется узнать фокус, а не оптическую силу. Поэтому остается только разделить 1 на 5, и получится фокусное расстояние:
F = 1/5 = 0, 2 м.
Ответ: фокусное расстояние собирающей линзы равно 0,2 м.
Задача о нахождении расстояния до изображения
Условие . Свечку поставили на расстоянии 15 см от собирающей линзы. Ее оптическая сила равна 10 дптр. Экран за линзой поставлен так, что на нем получается четкое изображение свечи. Чему равно это расстояние?
Решение. В краткую запись полагается записать такие данные: d = 15 см = 0,15 м, D = 10 дптр. Формулу, выведенную выше, нужно записать с небольшим изменением. А именно, в правой части равенства поставить D вместо 1/ F.
После нескольких преобразований получается такая формула для расстояния от линзы до изображения:
f = d / ( dD - 1).
Теперь необходимо подставить все числа и сосчитать. Получается такое значение для f: 0,3 м.
Ответ: расстояние от линзы до экрана равно 0,3 м.
Задача о расстоянии между предметом и его изображением
Условие. Предмет и его изображение отстоят друг от друга на 11 см. Собирающая линза дает увеличение в 3 раза. Найти ее фокусное расстояние.
Решение. Расстояние между предметом и его изображением удобно обозначить буквой L = 72 см = 0,72 м. Увеличение Г = 3.
Здесь возможны две ситуации. Первая — предмет стоит за фокусом, то есть изображение получается действительное. Во второй — предмет между фокусом и линзой. Тогда изображение с той же стороны, что и предмет, причем мнимое.
Рассмотрим первую ситуацию. Предмет и изображение находятся по разные стороны от собирающей линзы. Здесь можно записать такую формулу: L = d + f. Вторым уравнением полагается записать: Г = f / d. Необходимо решить систему этих уравнений с двумя неизвестными. Для этого заменить L на 0,72 м, а Г на 3.
Из второго уравнения получается, что f = 3 d. Тогда первое преобразуется так: 0,72 = 4 d. Из него легко сосчитать d = 0, 18 (м). Теперь легко определить f = 0,54 (м).
Осталось воспользоваться формулой тонкой линзы, чтобы вычислить фокусное расстояние. F = (0,18 * 0,54) / (0,18 + 0,54) = 0,135 (м). Это ответ для первого случая.
Во второй ситуации — изображение мнимое, и формула для L будет другой: L = f - d. Второе уравнение для системы будет тем же. Аналогично рассуждая, получим, что d = 0, 36 (м), а f = 1,08 (м). Подобный расчет фокусного расстояния даст такой результат: 0,54 (м).
Ответ: фокусное расстояние линзы равно 0,135 м или 0,54 м.
Вместо заключения
Ход лучей в тонкой линзе — это важное практическое приложение геометрической оптики. Ведь их используют во многих приборах от простой лупы до точных микроскопов и телескопов. Поэтому знать о них необходимо.
Выведенная формула тонкой линзы позволяет решать множество задач. Причем она позволяет делать выводы о том, какое изображение дают разные виды линз. При этом достаточно знать ее фокусное расстояние и расстояние до предмета.
