Способы решения неравенств. Линейные неравенства

Представлены основные виды неравенств, включая неравенства Бернулли, Коши - Буняковского, Минковского, Чебышева. Рассмотрены свойства неравенств и действия над ними. Даны основные методы решения неравенств.

Формулы основных неравенств

Формулы универсальных неравенств

Универсальные неравенства выполняются при любых значениях входящих в них величин. Ниже перечислены основные виды универсальных неравенств.

1) | a ± b | ≤ |a| + |b| ; | a 1 ± a 2 ± ... ± a n | ≤ |a 1 | + |a 2 | + ... + |a n |

2) |a| + |b| ≥ | a - b | ≥ | |a| - |b| |

3)
Равенство имеет место только при a 1 = a 2 = ... = a n .

4) Неравенство Коши - Буняковского

Равенство имеет место тогда и только тогда, когда α a k = β b k для всех k = 1, 2, ..., n и некоторых α, β, |α| + |β| > 0 .

5) Неравенство Минковского , при p ≥ 1

Формулы выполнимых неравенств

Выполнимые неравенства выполняются при определенных значениях входящих в них величин.

1) Неравенство Бернулли:
.
В более общем виде:
,
где , числа одного знака и больше, чем -1 : .
Лемма Бернулли:
.
См. «Доказательства неравенств и леммы Бернулли ».

2)
при a i ≥ 0 (i = 1, 2, ..., n) .

3) Неравенство Чебышева
при 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n и 0 < b 1 ≤ b 2 ≤ ... ≤ b n
.
При 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n и b 1 ≥ b 2 ≥ ... ≥ b n > 0
.

4) Обобщенные неравенства Чебышева
при 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n и 0 < b 1 ≤ b 2 ≤ ... ≤ b n и k натуральном
.
При 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n и b 1 ≥ b 2 ≥ ... ≥ b n > 0
.

Свойства неравенств

Свойства неравенств - это набор тех правил, которые выполняются при их преобразовании. Ниже представлены свойства неравенств. Подразумевается, что исходные неравенства выполняются при значениях x i (i = 1, 2, 3, 4) , принадлежащих некоторому, заранее определенному, интервалу.

1) При изменении порядка следования сторон, знак неравенства меняется на противоположный.
Если x 1 < x 2 , то x 2 > x 1 .
Если x 1 ≤ x 2 , то x 2 ≥ x 1 .
Если x 1 ≥ x 2 , то x 2 ≤ x 1 .
Если x 1 > x 2 , то x 2 < x 1 .

2) Одно равенство эквивалентно двум нестрогим неравенствам разного знака.
Если x 1 = x 2 , то x 1 ≤ x 2 и x 1 ≥ x 2 .
Если x 1 ≤ x 2 и x 1 ≥ x 2 , то x 1 = x 2 .

3) Свойство транзитивности
Если x 1 < x 2 и x 2 < x 3 , то x 1 < x 3 .
Если x 1 < x 2 и x 2 ≤ x 3 , то x 1 < x 3 .
Если x 1 ≤ x 2 и x 2 < x 3 , то x 1 < x 3 .
Если x 1 ≤ x 2 и x 2 ≤ x 3 , то x 1 ≤ x 3 .

4) К обеим частям неравенства можно прибавить (вычесть) одно и то же число.
Если x 1 < x 2 , то x 1 + A < x 2 + A .
Если x 1 ≤ x 2 , то x 1 + A ≤ x 2 + A .
Если x 1 ≥ x 2 , то x 1 + A ≥ x 2 + A .
Если x 1 > x 2 , то x 1 + A > x 2 + A .

5) Если есть два или более неравенств со знаком одного направления, то их левые и правые части можно сложить.
Если x 1 < x 2 , x 3 < x 4 , то x 1 + x 3 < x 2 + x 4 .
Если x 1 < x 2 , x 3 ≤ x 4 , то x 1 + x 3 < x 2 + x 4 .
Если x 1 ≤ x 2 , x 3 < x 4 , то x 1 + x 3 < x 2 + x 4 .
Если x 1 ≤ x 2 , x 3 ≤ x 4 , то x 1 + x 3 ≤ x 2 + x 4 .
Аналогичные выражения имеют место для знаков ≥, >.
Если в исходных неравенствах имеются знаки не строгих неравенств и хотя бы одно строгое неравенство (но все знаки имеют одинаковое направление), то при сложении получается строгое неравенство.

6) Обе части неравенства можно умножить (разделить) на положительное число.
Если x 1 < x 2 и A > 0 , то A · x 1 < A · x 2 .
Если x 1 ≤ x 2 и A > 0 , то A · x 1 ≤ A · x 2 .
Если x 1 ≥ x 2 и A > 0 , то A · x 1 ≥ A · x 2 .
Если x 1 > x 2 и A > 0 , то A · x 1 > A · x 2 .

7) Обе части неравенства можно умножить (разделить) на отрицательное число. При этом знак неравенства изменится на противоположный.
Если x 1 < x 2 и A < 0 , то A · x 1 > A · x 2 .
Если x 1 ≤ x 2 и A < 0 , то A · x 1 ≥ A · x 2 .
Если x 1 ≥ x 2 и A < 0 , то A · x 1 ≤ A · x 2 .
Если x 1 > x 2 и A < 0 , то A · x 1 < A · x 2 .

8) Если есть два или более неравенств с положительными членами, со знаком одного направления, то их левые и правые части можно умножить друг на друга.
Если x 1 < x 2 , x 3 < x 4 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 > 0 то x 1 · x 3 < x 2 · x 4 .
Если x 1 < x 2 , x 3 ≤ x 4 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 > 0 то x 1 · x 3 < x 2 · x 4 .
Если x 1 ≤ x 2 , x 3 < x 4 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 > 0 то x 1 · x 3 < x 2 · x 4 .
Если x 1 ≤ x 2 , x 3 ≤ x 4 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 > 0 то x 1 · x 3 ≤ x 2 · x 4 .
Аналогичные выражения имеют место для знаков ≥, >.
Если в исходных неравенствах имеются знаки не строгих неравенств и хотя бы одно строгое неравенство (но все знаки имеют одинаковое направление), то при умножении получается строгое неравенство.

9) Пусть f(x) - монотонно возрастающая функция. То есть при любых x 1 > x 2 , f(x 1) > f(x 2) . Тогда к обеим частям неравенства можно применить эту функцию, от чего знак неравенства не изменится.
Если x 1 < x 2 , то f(x 1) < f(x 2) .
Если x 1 ≤ x 2 , то f(x 1) ≤ f(x 2) .
Если x 1 ≥ x 2 , то f(x 1) ≥ f(x 2) .
Если x 1 > x 2 , то f(x 1) > f(x 2) .

10) Пусть f(x) - монотонно убывающая функция, То есть при любых x 1 > x 2 , f(x 1) < f(x 2) . Тогда к обеим частям неравенства можно применить эту функцию, от чего знак неравенства изменится на противоположный.
Если x 1 < x 2 , то f(x 1) > f(x 2) .
Если x 1 ≤ x 2 , то f(x 1) ≥ f(x 2) .
Если x 1 ≥ x 2 , то f(x 1) ≤ f(x 2) .
Если x 1 > x 2 , то f(x 1) < f(x 2) .

Методы решения неравенств

Решение неравенств методом интервалов

Метод интервалов применим, если в неравенство входит одна переменная, которую обозначим как x , и оно имеет вид:
f(x) > 0
где f(x) - непрерывная функция, имеющая конечное число точек разрывов. Знак неравенства может быть любым: >, ≥, <, ≤ .

Метод интервалов заключается в следующем.

1) Находим область определения функции f(x) и отмечаем ее интервалами на числовой оси.

2) Находим точки разрыва функции f(x) . Например, если это дробь, то находим точки, в которых знаменатель обращается в нуль. Отмечаем эти точки на числовой оси.

3) Решаем уравнение
f(x) = 0 .
Корни этого уравнения отмечаем на числовой оси.

4) В результате числовая ось окажется разбитой точками на интервалы (отрезки). Внутри каждого интервала, входящего в область определения, выбираем любую точку и в этой точке вычисляем значение функции. Если это значение больше нуля, то над отрезком (интервалом) ставим знак „+“ . Если это значение меньше нуля, то над отрезком (интервалом) ставим знак „-“ .

5) Если неравенство имеет вид: f(x) > 0 , то выбираем интервалы с знаком „+“ . Решением неравенства будет объединение этих интервалов, в которые не входят их границы.
Если неравенство имеет вид: f(x) ≥ 0 , то к решению добавляем точки, в которых f(x) = 0 . То есть часть интервалов, возможно, будут иметь закрытые границы (граница принадлежит интервалу). другая часть может иметь открытые границы (граница не принадлежит интервалу).
Аналогично, если неравенство имеет вид: f(x) < 0 , то выбираем интервалы с знаком „-“ . Решением неравенства будет объединение этих интервалов, в которые не входят их границы.
Если неравенство имеет вид: f(x) ≤ 0 , то к решению добавляем точки, в которых f(x) = 0 .

Решение неравенств, применяя их свойства

Этот метод применим для неравенств любой сложности. Он состоит в том, чтобы, применяя свойства (представленные выше), привести неравенства к более простому виду и получить решение. Вполне возможно, что при этом получится не одно, а система неравенств. Это универсальный метод. Он применим для любых неравенств.

Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.

После получения начальных сведений о неравенствах с переменными, переходим к вопросу их решения. Разберем решение линейных неравенств с одной переменной и все методы для их разрешения с алгоритмами и примерами. Будут рассмотрены только линейные уравнения с одной переменной.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Что такое линейное неравенство?

В начале необходимо определить линейное уравнение и выяснить его стандартный вид и чем оно будет отличаться от других. Из школьного курса имеем, что у неравенств нет принципиального различия, поэтому необходимо использовать несколько определений.

Определение 1

Линейное неравенство с одной переменной x – это неравенство вида a · x + b > 0 , когда вместо > используется любой знак неравенства < , ≤ , ≥ , а и b являются действительными числами, где a ≠ 0 .

Определение 2

Неравенства a · x < c или a · x > c , с x являющимся переменной, а a и c некоторыми числами, называют линейными неравенствами с одной переменной .

Так как ничего не сказано за то, может ли коэффициент быть равным 0 , тогда строгое неравенство вида 0 · x > c и 0 · x < c может быть записано в виде нестрогого, а именно, a · x ≤ c , a · x ≥ c . Такое уравнение считается линейным.

Их различия заключаются в:

• форме записи a · x + b > 0 в первом, и a · x > c – во втором;
• допустимости равенства нулю коэффициента a , a ≠ 0 - в первом, и a = 0 - во втором.

Считается, что неравенства a · x + b > 0 и a · x > c равносильные, потому как получены переносом слагаемого из одной части в другую. Решение неравенства 0 · x + 5 > 0 приведет к тому, что его необходимо будет решить, причем случай а = 0 не подойдет.

Определение 3

Считается, что линейными неравенствами в одной переменной x считаются неравенства вида a · x + b < 0 , a · x + b > 0 , a · x + b ≤ 0 и a · x + b ≥ 0 , где a и b являются действительными числами. Вместо x может быть обычное число.

Исходя из правила, имеем, что 4 · x − 1 > 0 , 0 · z + 2 , 3 ≤ 0 , - 2 3 · x - 2 < 0 являются примерами линейных неравенств. А неравенства такого плана, как 5 · x > 7 , − 0 , 5 · y ≤ − 1 , 2 называют сводящимися к линейному.

Как решить линейное неравенство

Основным способом решения таких неравенств сводится к равносильным преобразованиям для того, чтобы найти элементарные неравенства x < p (≤ , > , ≥) , p являющееся некоторым числом, при a ≠ 0 , а вида a < p (≤ , > , ≥) при а = 0 .

Для решения неравенства с одной переменной, можно применять метода интервалов или изображать графически. Любой из них можно применять обособленно.

Используя равносильные преобразования

Чтобы решить линейное неравенство вида a · x + b < 0 (≤ , > , ≥) , необходимо применить равносильные преобразования неравенства. Коэффициент может быть равен или не равен нулю. Рассмотрим оба случая. Для выяснения необходимо придерживаться схемы, состоящей из 3 пунктов: суть процесса, алгоритм, само решение.

Определение 4

Алгоритм решение линейного неравенства a · x + b < 0 (≤ , > , ≥) при a ≠ 0

• число b будет перенесено в правую часть неравенства с противоположным знаком, что позволит прийти к равносильному a · x < − b (≤ , > , ≥) ;
• будет производиться деление обеих частей неравенства на число не равное 0 . Причем, когда a является положительным, то знак остается, когда a – отрицательное, меняется на противоположный.

Рассмотрим применение данного алгоритма на решении примеров.

Пример 1

Решить неравенство вида 3 · x + 12 ≤ 0 .

Решение

Данное линейное неравенство имеет a = 3 и b = 12 . Значит, коэффициент a при x не равен нулю. Применим выше сказанные алгоритмы, решим.

Необходимо перенести слагаемое 12 в другую часть неравенства с изменением знака перед ним. Тогда получаем неравенство вида 3 · x ≤ − 12 . Необходимо произвести деление обеих частей на 3 . Знак не поменяется, так как 3 является положительным числом. Получаем, что (3 · x) : 3 ≤ (− 12) : 3 , что даст результат x ≤ − 4 .

Неравенство вида x ≤ − 4 является равносильным. То есть решение для 3 · x + 12 ≤ 0 – это любое действительное число, которое меньше или равно 4 . Ответ записывается в виде неравенства x ≤ − 4 , или числового промежутка вида (− ∞ , − 4 ] .

Весь выше прописанный алгоритм записывается так:

3 · x + 12 ≤ 0 ; 3 · x ≤ − 12 ; x ≤ − 4 .

Ответ: x ≤ − 4 или (− ∞ , − 4 ] .

Пример 2

Указать все имеющиеся решения неравенства − 2 , 7 · z > 0 .

Решение

Из условия видим, что коэффициент a при z равняется - 2 , 7 , а b в явном виде отсутствует или равняется нулю. Первый шаг алгоритма можно не использовать, а сразу переходить ко второму.

Производим деление обеих частей уравнения на число - 2 , 7 . Так как число отрицательное, необходимо поменять знак неравенства на противоположный. То есть получаем, что (− 2 , 7 · z) : (− 2 , 7) < 0: (− 2 , 7) , и дальше z < 0 .

Весь алгоритм запишем в краткой форме:

− 2 , 7 · z > 0 ; z < 0 .

Ответ: z < 0 или (− ∞ , 0) .

Пример 3

Решить неравенство - 5 · x - 15 22 ≤ 0 .

Решение

По условию видим, что необходимо решить неравенство с коэффициентом a при переменной x , которое равняется - 5 , с коэффициентом b , которому соответствует дробь - 15 22 . Решать неравенство необходимо, следуя алгоритму, то есть: перенести - 15 22 в другую часть с противоположным знаком, разделить обе части на - 5 , изменить знак неравенства:

5 · x ≤ 15 22 ; - 5 · x: - 5 ≥ 15 22: - 5 x ≥ - 3 22

При последнем переходе для правой части используется правило деления числе с разными знаками 15 22: - 5 = - 15 22: 5 , после чего выполняем деление обыкновенной дроби на натурально число - 15 22: 5 = - 15 22 · 1 5 = - 15 · 1 22 · 5 = - 3 22 .

Ответ: x ≥ - 3 22 и [ - 3 22 + ∞) .

Рассмотрим случай, когда а = 0 . Линейное выражение вида a · x + b < 0 является неравенством 0 · x + b < 0 , где на рассмотрение берется неравенство вида b < 0 , после чего выясняется, оно верное или нет.

Все основывается на определении решения неравенства. При любом значении x получаем числовое неравенство вида b < 0 , потому что при подстановке любого t вместо переменной x , тогда получаем 0 · t + b < 0 , где b < 0 . В случае, если оно верно, то для его решения подходит любое значение. Когда b < 0 неверно, тогда линейное уравнение не имеет решений, потому как не имеется ни одного значения переменной, которое привело бы верному числовому равенству.

Все суждения рассмотрим в виде алгоритма решения линейных неравенств 0 · x + b < 0 (≤ , > , ≥) :

Определение 5

Числовое неравенство вида b < 0 (≤ , > , ≥) верно, тогда исходное неравенство имеет решение при любом значении, а неверно тогда, когда исходное неравенство не имеет решений.

Пример 4

Решить неравенство 0 · x + 7 > 0 .

Решение

Данное линейное неравенство 0 · x + 7 > 0 может принимать любое значение x . Тогда получим неравенство вида 7 > 0 . Последнее неравенство считается верным, значит любое число может быть его решением.

Ответ : промежуток (− ∞ , + ∞) .

Пример 5

Найти решение неравенства 0 · x − 12 , 7 ≥ 0 .

Решение

При подстановке переменной x любого числа получим, что неравенство получит вид − 12 , 7 ≥ 0 . Оно является неверным. То есть 0 · x − 12 , 7 ≥ 0 не имеет решений.

Ответ: решений нет.

Рассмотрим решение линейных неравенств, где оба коэффициента равняется нулю.

Пример 6

Определить не имеющее решение неравенство из 0 · x + 0 > 0 и 0 · x + 0 ≥ 0 .

Решение

При подстановке любого числа вместо x получим два неравенства вида 0 > 0 и 0 ≥ 0 . Первое является неверным. Значит, 0 · x + 0 > 0 не имеет решений, а 0 · x + 0 ≥ 0 имеет бесконечное количество решений, то есть любое число.

Ответ : неравенство 0 · x + 0 > 0 не имеет решений, а 0 · x + 0 ≥ 0 имеет решения.

Данный метод рассматривается в школьном курсе математики. Метод интервалов способен разрешать различные виды неравенств, также и линейные.

Метод интервалов применяется для линейных неравенств при значении коэффициента x не равному 0 . Иначе придется вычислять при помощи другого метода.

Определение 6

Метод интервалов – это:

• введение функции y = a · x + b ;
• поиск нулей для разбивания области определения на промежутки;
• определение знаков для понятия их на промежутках.

Соберем алгоритм для решения линейных уравнений a · x + b < 0 (≤ , > , ≥) при a ≠ 0 с помощью метода интервалов:

• нахождение нулей функции y = a · x + b , чтобы решить уравнение вида a · x + b = 0 . Если a ≠ 0 , тогда решением будет единственный корень, который примет обозначение х 0 ;
• построение координатной прямой с изображением точки с координатой х 0 , при строгом неравенстве точка обозначается выколотой, при нестрогом – закрашенной;
• определение знаков функции y = a · x + b на промежутках, для этого необходимо находить значения функции в точках на промежутке;
• решение неравенства со знаками > или ≥ на координатной прямой добавляется штриховка над положительным промежутком, < или ≤ над отрицательным промежутком.

Рассмотрим несколько примеров решения линейного неравенства при помощи метода интервалов.

Пример 6

Решить неравенство − 3 · x + 12 > 0 .

Решение

Из алгоритма следует, что для начала нужно найти корень уравнения − 3 · x + 12 = 0 . Получаем, что − 3 · x = − 12 , x = 4 . Необходимо изобразить координатную прямую, где отмечаем точку 4 . Она будет выколотой, так как неравенство является строгим. Рассмотрим чертеж, приведенный ниже.

Нужно определить знаки на промежутках. Чтобы определить его на промежутке (− ∞ , 4) , необходимо произвести вычисление функции y = − 3 · x + 12 при х = 3 . Отсюда получим, что − 3 · 3 + 12 = 3 > 0 . Знак на промежутке является положительным.

Определяем знак из промежутка (4 , + ∞) , тогда подставляем значение х = 5 . Имеем, что − 3 · 5 + 12 = − 3 < 0 . Знак на промежутке является отрицательным. Изобразим на числовой прямой, приведенной ниже.

Мы выполняем решение неравенства со знаком > , причем штриховка выполняется над положительным промежутком. Рассмотрим чертеж, приведенный ниже.

Из чертежа видно, что искомое решение имеет вид (− ∞ , 4) или x < 4 .

Ответ : (− ∞ , 4) или x < 4 .

Чтобы понять, как изображать графически, необходимо рассмотреть на примере 4 линейных неравенства: 0 , 5 · x − 1 < 0 , 0 , 5 · x − 1 ≤ 0 , 0 , 5 · x − 1 > 0 и 0 , 5 · x − 1 ≥ 0 . Их решениями будут значения x < 2 , x ≤ 2 , x > 2 и x ≥ 2 . Для этого изобразим график линейной функции y = 0 , 5 · x − 1 , приведенный ниже.

Видно, что

Определение 7

• решением неравенства 0 , 5 · x − 1 < 0 считается промежуток, где график функции y = 0 , 5 · x − 1 располагается ниже О х;
• решением 0 , 5 · x − 1 ≤ 0 считается промежуток, где функция y = 0 , 5 · x − 1 ниже О х или совпадает;
• решением 0 , 5 · x − 1 > 0 считается промежуток, гре функция располагается выше О х;
• решением 0 , 5 · x − 1 ≥ 0 считается промежуток, где график выше О х или совпадает.

Смысл графического решения неравенств заключается в нахождении промежутков, которое необходимо изображать на графике. В данном случае получаем, что левая часть имеет y = a · x + b , а правая – y = 0 , причем совпадает с О х.

Определение 8

Построение графика функции y = a · x + b производится:

• во время решения неравенства a · x + b < 0 определяется промежуток, где график изображен ниже О х;
• во время решения неравенства a · x + b ≤ 0 определяется промежуток, где график изображается ниже оси О х или совпадает;
• во время решения неравенства a · x + b > 0 производится определение промежутка, где график изображается выше О х;
• во время решения неравенства a · x + b ≥ 0 производится определение промежутка, где график находится выше О х или совпадает.

Пример 7

Решить неравенство - 5 · x - 3 > 0 при помощи графика.

Решение

Необходимо построить график линейной функции - 5 · x - 3 > 0 . Данная прямая является убывающей, потому как коэффициент при x является отрицательным. Для определения координат точки его пересечения с О х - 5 · x - 3 > 0 получим значение - 3 5 . Изобразим графически.

Решение неравенства со знаком > , тогда необходимо обратить внимание на промежуток выше О х. Выделим красным цветом необходимую часть плоскости и получим, что

Необходимый промежуток является частью О х красного цвета. Значит, открытый числовой луч - ∞ , - 3 5 будет решением неравенства. Если бы по условию имели нестрогое неравенство, тогда значение точки - 3 5 также являлось бы решением неравенства. И совпадало бы с О х.

Ответ : - ∞ , - 3 5 или x < - 3 5 .

Графический способ решения используется, когда левая часть будет отвечать функции y = 0 · x + b , то есть y = b . Тогда прямая будет параллельна О х или совпадающей при b = 0 . Эти случаю показывают, что неравенство может не иметь решений, либо решением может быть любое число.

Пример 8

Определить из неравенств 0 · x + 7 < = 0 , 0 · x + 0 ≥ 0 то, которое имеет хотя бы одно решение.

Решение

Представление y = 0 · x + 7 является y = 7 , тогда будет задана координатная плоскость с прямой, параллельной О х и находящейся выше О х. Значит, 0 · x + 7 < = 0 решений не имеет, потому как нет промежутков.

График функции y = 0 · x + 0 , считается y = 0 , то есть прямая совпадает с О х. Значит, неравенство 0 · x + 0 ≥ 0 имеет множество решений.

Ответ : второе неравенство имеет решение при любом значении x .

Неравенства, сводящиеся к линейным

Решение неравенств можно свести к решению линейного уравнения, которые называют неравенствами, сводящимися к линейным.

Данные неравенства были рассмотрены в школьном курсе, так как они являлись частным случаем решения неравенств, что приводило к раскрытию скобок и приведению подобных слагаемых. Для примера рассмотрим, что 5 − 2 · x > 0 , 7 · (x − 1) + 3 ≤ 4 · x − 2 + x , x - 3 5 - 2 · x + 1 > 2 7 · x .

Неравенства, приведенные выше, всегда приводятся к виду линейного уравнения. После чего раскрываются скобки и приводятся подобные слагаемые, переносятся из разных частей, меняя знак на противоположный.

При сведении неравенства 5 − 2 · x > 0 к линейному, представляем его таким образом, чтобы оно имело вид − 2 · x + 5 > 0 , а для приведения второго получаем, что 7 · (x − 1) + 3 ≤ 4 · x − 2 + x . Необходимо раскрыть скобки, привести подобные слагаемые, перенести все слагаемые в левую часть и привести подобные слагаемые. Это выглядит таким образом:

7 · x − 7 + 3 ≤ 4 · x − 2 + x 7 · x − 4 ≤ 5 · x − 2 7 · x − 4 − 5 · x + 2 ≤ 0 2 · x − 2 ≤ 0

Это приводит решение к линейному неравенству.

Эти неравенства рассматриваются как линейные, так как имеют такой же принцип решения, после чего возможно приведение их к элементарным неравенствам.

Для решения такого вида неравенства такого вида необходимо свести его к линейному. Это следует делать таким образом:

Определение 9

• раскрыть скобки;
• слева собрать переменные, а справа числа;
• привести подобные слагаемые;
• разделить обе части на коэффициент при x .

Пример 9

Решить неравенство 5 · (x + 3) + x ≤ 6 · (x − 3) + 1 .

Решение

Производим раскрытие скобок, тогда получим неравенство вида 5 · x + 15 + x ≤ 6 · x − 18 + 1 . После приведения подобных слагаемых имеем, что 6 · x + 15 ≤ 6 · x − 17 . После перенесения слагаемых с левой в правую, получим, что 6 · x + 15 − 6 · x + 17 ≤ 0 . Отсюда имеет неравенство вида 32 ≤ 0 из полученного при вычислении 0 · x + 32 ≤ 0 . Видно, что неравенство неверное, значит, неравенство, данное по условию, не имеет решений.

Ответ : нет решений.

Стоит отметить, что имеется множество неравенств другого вида, которые могут сводится к линейному или неравенству вида, показанного выше. Например, 5 2 · x − 1 ≥ 1 является показательным уравнением, которое сводится к решению линейного вида 2 · x − 1 ≥ 0 . Эти случаи будут рассмотрены при решении неравенств данного вида.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Теория:

При решении неравенств используют следующие правила:

1. Любой член неравенства можно перенести из одной части
неравенства в другую с противоположным знаком, при этом знак неравенства не меняется.

2. Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно
и то же положительное число, не изменив при этом знак неравенства.

3. Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно
и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на
противоположный.

Решить неравенство − 8 x + 11 < − 3 x − 4
Решение.

1. Перенесём член − 3 x в левую часть неравенства, а член 11 — в правую часть неравенства, при этом поменяем знаки на противоположные у − 3 x и у 11 .
Тогда получим

− 8 x + 3 x < − 4 − 11

− 5 x < − 15

2. Разделим обе части неравенства − 5 x < − 15 на отрицательное число − 5 , при этом знак неравенства < , поменяется на > , т.е. мы перейдём к неравенству противоположного смысла.
Получим:

− 5 x < − 15 | : (− 5 )

x > − 15 : (− 5 )

x > 3

x > 3 — решение заданного неравенства.

Обрати внимание!

Для записи решения можно использовать два варианта: x > 3 или в виде числового промежутка.

Отметим множество решений неравенства на числовой прямой и запишем ответ в виде числового промежутка.

x ∈ (3 ; + ∞ )

Ответ: x > 3 или x ∈ (3 ; + ∞ )

Алгебраические неравенства.

Квадратные неравенства. Рациональные неравенства высших степеней.

Методы решения неравенств зависят в основном от того, к какому классу относятся функции, составляющие неравенство.

1. I . Квадратные неравенства , то есть неравенства вида

ax 2 + bx + c > 0 (< 0), a ≠ 0.

Чтобы решить неравенство можно:

1. Квадратный трехчлен разложить на множители, то есть неравенство записать в виде

a (x - x 1) (x - x 2) > 0 (< 0).

1. Корни многочлена нанести на числовую ось. Корни разбивают множество действительных чисел на промежутки, в каждом из которых соответствующая квадратичная функция будет знакопостоянной.
2. Определить знак a (x - x 1) (x - x 2) в каждом промежутке и записать ответ.

Если квадратный трехчлен не имеет корней, то при D<0 и a>0 квадратный трехчлен при любом x положителен.

• Решить неравенство. x 2 + x - 6 > 0.

Разложим квадратный трехчлен на множители (x + 3) (x - 2) > 0

Ответ: x (-∞; -3) (2; +∞).

2) (x - 6) 2 > 0

Это неравенство верно при любом х, кроме х = 6.

Ответ: (-∞; 6) (6; +∞).

3) x² + 4x + 15 < 0.

Здесь D < 0, a = 1 > 0. Квадратный трехчлен положителен при всех х.

Ответ: x Î Ø.

Решить неравенства:

1. 1 + х - 2х² < 0. Ответ:
2. 3х² - 12х + 12 ≤ 0. Ответ:
3. 3х² - 7х + 5 ≤ 0. Ответ:
4. 2х² - 12х + 18 > 0. Ответ:
5. При каких значениях a неравенство

x² - ax > выполняется для любых х? Ответ:

1. II . Рациональные неравенства высших степеней, то есть неравенства вида

a n x n + a n-1 x n-1 + … + a 1 x + a 0 > 0 (<0), n>2.

Многочлен высшей степени следует разложить на множители, то есть неравенство записать в виде

a n (x - x 1) (x - x 2) ·…· (x - x n) > 0 (<0).

Отметить на числовой оси точки, в которых многочлен обращается в нуль.

Определить знаки многочлена на каждом промежутке.

1) Решить неравенство x 4 - 6x 3 + 11x 2 - 6x < 0.

x 4 - 6x 3 + 11x 2 - 6x = x (x 3 - 6x 2 + 11x -6) = x (x 3 - x 2 - 5x 2 + 5x +6x - 6) =x (x - 1)(x 2 -5x + 6) =

x (x - 1) (x - 2) (x - 3). Итак, x (x - 1) (x - 2) (x - 3)<0

Ответ: (0; 1) (2; 3).

2) Решить неравенство (x -1) 5 (x + 2) (x - ½) 7 (2x + 1) 4 <0.

Отметим на числовой оси точки, в которых многочлен обращается в нуль. Это х = 1, х = -2, х = ½, х = - ½.

В точке х = - ½ смены знака не происходит, потому что двучлен (2х + 1) возводится в четную степень, то есть выражение (2x + 1) 4 не меняет знак при переходе через точку х = - ½.

Ответ: (-∞; -2) (½; 1).

3) Решить неравенство: х 2 (х + 2) (х - 3) ≥ 0.

Данное неравенство равносильно следующей совокупности

Решением (1) является х (-∞; -2) (3; +∞). Решением (2) являются х = 0, х = -2, х = 3. Объединяя полученные решения, получаем х Î (-∞; -2] {0} {0} }