Нахождение длины вектора, примеры и решения. Векторы для чайников

Еще со школьной скамьи нам известно, что такое вектор – это отрезок, который имеет направление и характеризуется численным значением упорядоченной пары точек. Число, равняющееся длине отрезка, который служит основой, определяется как длина вектора . Для ее определения мы будем использовать систему координат . А также учитываем еще одну характеристику – направление отрезка . Для того, чтобы найти длину вектора, можно воспользоваться двумя способами. Самый простой – берем линейку и измеряем, какова же она будет. А можно воспользоваться формулой. Этот вариант мы сейчас и рассмотрим.

Необходимо:

— система координат (х, у);
— вектор;
— знания по алгебре и геометрии.

Инструкция:

• Формулу определения длины направленного отрезка запишем следующим образом r²= x²+y² . Извлекаем корень квадратный из r² и полученное число будет результатом. Чтобы найти длину вектора, совершаем следующие действия. Обозначаем начальную точку координат (х1;у1) , конечная точка (х2;у2) . Находим x и y путем разности координат конца и начала направленного отрезка. Проще говоря, число (х) определяем по следующей формуле х=х2-х1 , а число (у) соответственно у=у2-у1 .
• Находим квадрат суммы координат по формуле x²+y² . Извлекаем корень квадратный из полученного числа, который и будет длиной вектора (r) . Решение поставленной задачи упростится, если сразу будут известны начальные данные координат направленного отрезка. Все, что потребуется – это подставить данные в формулу.
• Внимание! Вектор может находиться не на плоскости координат, а в пространстве, в таком случае к формуле прибавится еще одно значение, и она будет иметь следующий вид: r²= x²+y²+ z² , где – (z) дополнительная ось, помогающая определить величину направленного отрезка в пространстве.

Векторы. Действия с векторами. В этой статье мы поговорим о том, что такое вектор, как находить его длину, и как умножать вектор на число, а также как находить сумму, разность и скалярное произведение двух векторов.

Как обычно, немного самой необходимой теории.

Вектор - это направленный отрезок, то есть такой отрезок, у которого есть начало и конец:

Здесь точка А - начало вектора, а точка В - его конец.

У вектора есть два параметра: его длина и направление.

Длина вектора - это длина отрезка, соединяющего начало и конец вектора. Длина вектора обозначается

Два вектора называются равными , если они имеют одинаковую длину и сонаправлены.

Два вектора называются сонаправленными , если они лежат на параллельных прямых и направлены в одну сторону: вектора и сонаправлены:

Два вектора называются противоположно направленными, если они лежат на параллельных прямых и направлены в противоположные стороны: вектора и , а также и направлены в противоположные стороны:

Вектора, лежащие на параллельных прямых называются коллинеарными : вектора , и - коллинеарны.

Произведением вектора на число называется вектор, сонаправленный вектору , если title="k>0">, и направленный в противоположную сторону, если , и длина которого равна длине вектора , умноженной на :

Чтобы сложить два вектора и , нужно начало вектора соединить с концом вектора . Вектор суммы соединяет начало вектора с концом вектора :

Это правило сложения векторов называется правилом треугольника .

Чтобы сложить два вектора по правилу параллелограмма , нужно отложить вектора от одной точки и достроить до параллелограмма. Вектор суммы соединяет точку начала векторов с противоположным углом параллелограмма:

Разность двух векторов определяется через сумму: разностью векторов и называется такой вектор , который в сумме с вектором даст вектор :

Отсюда вытекает правило нахождения разности двух векторов : чтобы из вектора вычесть вектор , нужно отложить эти вектора от одной точки. Вектор разности соединяет конец вектора с концом вектора (то есть конец вычитаемого с концом уменьшаемого):

Чтобы найти угол между вектором и вектором , нужно отложить эти вектора от одной точки. Угол, образованный лучами, на которых лежат вектора, называется углом между векторами:

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

Предлагаю вам решить задачи из Открытого банка заданий для , а затем сверить све решение с ВИДЕОУРОКАМИ:

1 . Задание 4 (№ 27709)

Две стороны прямоугольника ABCD равны 6 и 8. Найдите длину разности векторов и .

2 . Задание 4 (№ 27710)

Две стороны прямоугольника ABCD равны 6 и 8. Найдите скалярное произведение векторов и . (чертеж из предыдущей задачи).

3 . Задание 4 (№ 27711)

Две стороны прямоугольника ABCD O . Найдите длину суммы векторов и .

4 . Задание 4 (№ 27712)

Две стороны прямоугольника ABCD равны 6 и 8. Диагонали пересекаются в точке O . Найдите длину разности векторов и . (чертеж из предыдущей задачи).

5 . Задание 4 (№ 27713)

Диагонали ромба ABCD равны 12 и 16. Найдите длину вектора .

6 . Задание 4 (№ 27714)

Диагонали ромба ABCD равны 12 и 16. Найдите длину вектора + .

7 .Задание 4 (№ 27715)

Диагонали ромба ABCD равны 12 и 16. Найдите длину вектора - .(чертеж из предыдущей задачи).

8 .Задание 4 (№ 27716)

Диагонали ромба ABCD равны 12 и 16. Найдите длину вектора - .

9 . Задание 4 (№ 27717)

Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O и равны 12 и 16. Найдите длину вектора + .

10 . Задание 4 (№ 27718)

Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O и равны 12 и 16. Найдите длину вектора - .(чертеж из предыдущей задачи).

11 .Задание 4 (№ 27719)

Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O и равны 12 и 16. Найдите скалярное произведение векторов и .(чертеж из предыдущей задачи).

12 . Задание 4 (№ 27720)

ABC равны Найдите длину вектора +.

13 . Задание 4 (№ 27721)

Стороны правильного треугольника ABC равны 3. Найдите длину вектора -.(чертеж из предыдущей задачи).

14 . Задание 4 (№ 27722)

Стороны правильного треугольника ABC равны 3. Найдите скалярное произведение векторов и . (чертеж из предыдущей задачи).

Вероятно, Ваш браузер не поддерживается. Чтобы использовать тренажёр "Час ЕГЭ", попробуйте скачать
Firefox

Oxy

О А ОА .

, откуда ОА .

Таким образом, .

Рассмотрим пример.

Пример.

Решение.

:

Ответ:

Oxyz в пространстве.

А ОА будет диагональю.

В этом случае (так как ОА ОА .

Таким образом, длина вектора .

Пример.

Вычислите длину вектора

Решение.

, следовательно,

Ответ:

Прямая на плоскости

Общее уравнение

Ax + By + C ( > 0).

Вектор = (А; В) - нормальный вектор прямой.

В векторном виде: + С = 0 , где - радиус-вектор произвольной точки на прямой (рис. 4.11).

Частные случаи:

1) By + C = 0 - прямая параллельна оси Ox ;

2) Ax + C = 0 - прямая параллельна оси Oy ;

3) Ax + By = 0 - прямая проходит через начало координат;

4) y = 0 - ось Ox ;

5) x = 0 - ось Oy .

Уравнение прямой в отрезках

где a, b - величины отрезков, отсекаемых прямой на осях координат.

Нормальное уравнение прямой (рис. 4.11)

где - угол, образуемый нормально к прямой и осью Ox ; p - расстояние от начала координат до прямой.

Приведение общего уравнения прямой к нормальному виду:

Здесь - нормируемый множитель прямой; знак выбирается противоположным знаку C , если и произвольно, если C = 0 .

Нахождение длины вектора по координатам.

Длину вектора будем обозначать . Из-за такого обозначения длину вектора часто называют модулем вектора.

Начнем с нахождения длины вектора на плоскости по координатам.

Введем на плоскости прямоугольную декартову систему координат Oxy . Пусть в ней задан вектор и он имеет координаты . Получим формулу, позволяющую находить длину вектора через координаты и .

Отложим от начала координат (от точки О ) вектор . Обозначим проекции точки А на координатные оси как и соответственно и рассмотрим прямоугольник с диагональю ОА .

В силу теоремы Пифагора справедливо равенство , откуда . Из определения координат вектора в прямоугольной системе координатмы можем утверждать, что и , а по построению длина ОА равна длине вектора , следовательно, .

Таким образом, формула для нахождения длины вектора по его координатам на плоскости имеет вид .

Если вектор представлен в виде разложения по координатным векторам , то его длина вычисляется по этой же формуле , так как в этом случае коэффициенты и являются координатами вектора в заданной системе координат.

Рассмотрим пример.

Пример.

Найдите длину вектора , заданного в декартовой системе координат.

Решение.

Сразу применяем формулу для нахождения длины вектора по координатам :

Ответ:

Теперь получим формулу для нахождения длины вектора по его координатам в прямоугольной системе координат Oxyz в пространстве.

Отложим от начала координат вектор и обозначим проекции точки А на координатные оси как и . Тогда мы можем построить на сторонах и прямоугольный параллелепипед, в котором ОА будет диагональю.

В этом случае (так как ОА – диагональ прямоугольного параллелепипеда), откуда . Определение координат вектора позволяет нам записать равенства , а длина ОА равна искомой длине вектора, следовательно, .

Таким образом, длина вектора в пространстве равна корню квадратному из суммы квадратов его координат , то есть, находится по формуле .

Пример.

Вычислите длину вектора , где - орты прямоугольной системы координат.

Решение.

Нам дано разложение вектора по координатным векторам вида , следовательно, . Тогда по формуле нахождения длины вектора по координатам имеем .

Yandex.RTB R-A-339285-1

Длину вектора a → будем обозначать a → . Данное обозначение аналогично модулю числа, поэтому длину вектора также называют модулем вектора.

Для нахождения длины вектора на плоскости по его координатам, требуется рассмотреть прямоугольную декартову систему координат O x y . Пусть в ней задан некоторый вектор a → с координатами a x ; a y . Введем формулу для нахождения длины (модуля) вектора a → через координаты a x и a y .

От начала координат отложим вектор O A → = a → . Определим соответственные проекции точки A на координатные оси как A x и A y . Теперь рассмотрим прямоугольник O A x A A y с диагональю O A .

Из теоремы Пифагора следует равенство O A 2 = O A x 2 + O A y 2 , откуда O A = O A x 2 + O A y 2 . Из уже известного определения координат вектора в прямоугольной декартовой системе координат получаем, что O A x 2 = a x 2 и O A y 2 = a y 2 , а по построению длина O A равна длине вектора O A → , значит, O A → = O A x 2 + O A y 2 .

Отсюда получается, что формула для нахождения длины вектора a → = a x ; a y имеет соответствующий вид: a → = a x 2 + a y 2 .

Если вектор a → дан в виде разложения по координатным векторам a → = a x · i → + a y · j → , то вычислить его длину можно по той же формуле a → = a x 2 + a y 2 , в данном случае коэффициенты a x и a y выступают в роли координат вектора a → в заданной системе координат.

Пример 1

Вычислить длину вектора a → = 7 ; e , заданного в прямоугольной системе координат.

Решение

Чтобы найти длину вектора, будем использовать формулу нахождения длины вектора по координатам a → = a x 2 + a y 2: a → = 7 2 + e 2 = 49 + e

Ответ: a → = 49 + e .

Формула для нахождения длины вектора a → = a x ; a y ; a z по его координатам в декартовой системе координат Oxyz в пространстве, выводится аналогично формуле для случая на плоскости (см. рисунок ниже)

В данном случае O A 2 = O A x 2 + O A y 2 + O A z 2 (так как ОА – диагональ прямоугольного параллелепипеда), отсюда O A = O A x 2 + O A y 2 + O A z 2 . Из определения координат вектора можем записать следующие равенства O A x = a x ; O A y = a y ; O A z = a z ; , а длина ОА равна длине вектора, которую мы ищем, следовательно, O A → = O A x 2 + O A y 2 + O A z 2 .

Отсюда следует, что длина вектора a → = a x ; a y ; a z равна a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 .

Пример 2

Вычислить длину вектора a → = 4 · i → - 3 · j → + 5 · k → , где i → , j → , k → - орты прямоугольной системы координат.

Решение

Дано разложение вектора a → = 4 · i → - 3 · j → + 5 · k → , его координаты равны a → = 4 , - 3 , 5 . Используя выше выведенную формулу получим a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 = 4 2 + (- 3) 2 + 5 2 = 5 2 .

Ответ: a → = 5 2 .

Длина вектора через координаты точек его начала и конца

Выше были выведены формулы, позволяющие находить длины вектора по его координатам. Мы рассмотрели случаи на плоскости и в трехмерном пространстве. Воспользуемся ими для нахождения координат вектора по координатам точек его начала и конца.

Итак, даны точки с заданными координатами A (a x ; a y) и B (b x ; b y) , отсюда вектор A B → имеет координаты (b x - a x ; b y - a y) значит, его длина может быть определена по формуле: A B → = (b x - a x) 2 + (b y - a y) 2

А если даны точки с заданными координатами A (a x ; a y ; a z) и B (b x ; b y ; b z) в трехмерном пространстве, то длину вектора A B → можно вычислить по формуле

A B → = (b x - a x) 2 + (b y - a y) 2 + (b z - a z) 2

Пример 3

Найти длину вектора A B → , если в прямоугольной системе координат A 1 , 3 , B - 3 , 1 .

Решение

Используя формулу нахождения длины вектора по координатам точек начала и конца на плоскости, получим A B → = (b x - a x) 2 + (b y - a y) 2: A B → = (- 3 - 1) 2 + (1 - 3) 2 = 20 - 2 3 .

Второй вариант решения подразумевает под собой применение данных формул по очереди: A B → = (- 3 - 1 ; 1 - 3) = (- 4 ; 1 - 3) ; A B → = (- 4) 2 + (1 - 3) 2 = 20 - 2 3 . -

Ответ: A B → = 20 - 2 3 .

Пример 4

Определить, при каких значениях длина вектора A B → равна 30 , если A (0 , 1 , 2) ; B (5 , 2 , λ 2) .

Решение

Для начала распишем длину вектора A B → по формуле: A B → = (b x - a x) 2 + (b y - a y) 2 + (b z - a z) 2 = (5 - 0) 2 + (2 - 1) 2 + (λ 2 - 2) 2 = 26 + (λ 2 - 2) 2

Затем полученное выражение приравняем к 30 , отсюда найдем искомые λ:

26 + (λ 2 - 2) 2 = 30 26 + (λ 2 - 2) 2 = 30 (λ 2 - 2) 2 = 4 λ 2 - 2 = 2 и л и λ 2 - 2 = - 2 λ 1 = - 2 , λ 2 = 2 , λ 3 = 0 .

Ответ: λ 1 = - 2 , λ 2 = 2 , λ 3 = 0 .

Нахождение длины вектора по теореме косинусов

Увы, но в задачах не всегда бывают известны координаты вектора, поэтому рассмотрим другие способы нахождения длины вектора.

Пусть заданы длины двух векторов A B → , A C → и угол между ними (или косинус угла), а требуется найти длину вектора B C → или C B → . В таком случае, следует воспользоваться теоремой косинусов в треугольнике △ A B C , вычислить длину стороны B C , которая и равна искомой длине вектора.

Рассмотрим такой случай на следующем примере.

Пример 5

Длины векторов A B → и A C → равны 3 и 7 соответственно, а угол между ними равен π 3 . Вычислить длину вектора B C → .

Решение

Длина вектора B C → в данном случае равна длине стороны B C треугольника △ A B C . Длины сторон A B и A C треугольника известны из условия (они равны длинам соответствующих векторов), также известен угол между ними, поэтому мы можем воспользоваться теоремой косинусов: B C 2 = A B 2 + A C 2 - 2 · A B · A C · cos ∠ (A B , → A C →) = 3 2 + 7 2 - 2 · 3 · 7 · cos π 3 = 37 ⇒ B C = 37 Таким образом, B C → = 37 .

Ответ: B C → = 37 .

Итак, для нахождения длины вектора по координатам существуют следующие формулы a → = a x 2 + a y 2 или a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 , по координатам точек начала и конца вектора A B → = (b x - a x) 2 + (b y - a y) 2 или A B → = (b x - a x) 2 + (b y - a y) 2 + (b z - a z) 2 , в некоторых случаях следует использовать теорему косинусов.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

На оси абсцисс и ординат называются координатами вектора . Координаты вектора общепринято указывать в виде (х, у) , а сам вектор как: =(х, у).

Формула определения координат вектора для двухмерных задач.

В случае двухмерной задачи вектор с известными координатами точек A(х 1 ;у 1) и B(x 2 ; y 2 ) можно вычислить:

= (x 2 - x 1 ; y 2 - y 1).

Формула определения координат вектора для пространственных задач.

В случае пространственной задачи вектор с известными координатами точек A(х 1 ;у 1 ; z 1 ) и B(x 2 ; y 2 ; z 2 ) можно вычислить применив формулу:

= (x 2 - x 1 ; y 2 - y 1 ; z 2 - z 1 ).

Координаты дают всеобъемлющую характеристику вектора, поскольку по координатам есть возможность построить и сам вектор. Зная координаты, легко вычислить и длину вектора . (Свойство 3, приведенное ниже).

Свойства координат вектора.

1. Любые равные векторы в единой системе координат имеют равные координаты .

2. Координаты коллинеарных векторов пропорциональны. При условии, что ни один из векторов не равен нулю.

3. Квадрат длины любого вектора равен сумме квадратов его координат .

4.При операции умножения вектора на действительное число каждая его координата умножается на это число.

5. При операции сложения векторов вычисляем сумму соответствующие координаты векторов .

6. Скалярное произведение двух векторов равняется сумме произведений их соответствующих координат.