Рассмотрим следующие уравнения:
1. 2*x + 3*y = 15;
2. x 2 + y 2 = 4;
4. 5*x 3 + y 2 = 8.
Каждое из представленных выше уравнений является уравнением с двумя переменными. Множество точек координатной плоскости, координаты которых обращают уравнение в верное числовое равенство, называется графиком уравнения с двумя неизвестными .
График уравнения с двумя переменными
Уравнения с двумя переменными имеют большое многообразие графиков. Например, для уравнения 2*x + 3*y = 15 графиком будет прямая линия, для уравнения x 2 + y 2 = 4 графиком будет являться окружность с радиусом 2, графиком уравнения y*x = 1 будет являться гипербола и т.д.
У целых уравнений с двумя переменными тоже существует такое понятие, как степень. Определяется эта степень, так же как для целого уравнения с одной переменной. Для этого приводят уравнение к виду, когда левая часть есть многочлен стандартного вида, а правая - нуль. Это осуществляется путем равносильных преобразований.
Графический способ решения систем уравнения
Разберемся, как решать системы уравнений, которые будут состоять из двух уравнений с двумя переменными. Рассмотрим графический способ решения таких систем.
Пример 1. Решить систему уравнений:
{ x 2 + y 2 = 25
{y = -x 2 + 2*x + 5.
Построим графики первого и второго уравнений в одной системе координат. Графиком первого уравнения будет окружность с центром в начале координат и радиусом 5. Графиком второго уравнения будет являться парабола с ветвями, опущенными вниз.
Все точки графиков будут удовлетворять каждый своему уравнению. Нам же необходимо найти такие точки, которые будут удовлетворять как первому, так и второму уравнению. Очевидно, что это будут точки, в которых эти два графика пересекаются.
Используя наш рисунок находим приблизительные значения координат, в которых эти точки пересекаются. Получаем следующие результаты:
A(-2,2;-4,5), B(0;5), C(2,2;4,5), D(4,-3).
Значит, наша система уравнений имеет четыре решения.
x1 ≈ -2,2; y1 ≈ -4,5;
x2 ≈ 0; y2 ≈ 5;
x3 ≈ 2,2; y3 ≈ 4,5;
x4 ≈ 4,y4 ≈ -3.
Если подставить данные значения в уравнения нашей системы, то можно увидеть, что первое и третье решение являются приближенными, а второе и четвертое - точными. Графический метод часто используется, чтобы оценить количество корней и примерные их границы. Решения получаются чаще приближенными, чем точными.
Видеоурок «Графический способ решения систем уравнений» представляет учебный материал для освоения данной темы. Материал содержит общее понятие о решении системы уравнений, а также подробное объяснение на примере, каким образом решается система уравнений графическим способом.
Наглядное пособие использует анимацию для более удобного и понятного выполнения построений, а также разные способы выделения важных понятий и деталей для углубленного понимания материала, лучшего его запоминания.
Видеоурок начинается с представления темы. Ученикам напоминается, что такое система уравнений, и с какими системами уравнений им уже пришлось ознакомиться в 7 классе. Ранее ученикам приходилось решать системы уравнений вида ах+by=c. Углубляя понятие о решении систем уравнений и с целью формирования умения их решать в данном видеоуроке рассматривается решение системы, состоящей из двух уравнений второй степени, а также из одного уравнения второй степени, а второго - первой степени. Напоминается о том, что такое решение системы уравнений. Определение решения системы как пары значений переменных, обращающих ее уравнения при подстановке в верное равенство, выводится на экран. В соответствии с определением решения системы, конкретизируется задача. На экран выведено для запоминания, что решить систему - означает, найти подходящие решения или доказать их отсутствие.
Предлагается освоить графический способ решения некоторой системы уравнений. Применение данного способа рассматривается на примере решения системы, состоящей из уравнений х 2 +у 2 =16 и у=-х 2 +2х+4. Графическое решение системы начинается с построения графика каждого из данных уравнений. Очевидно, графиком уравнения х 2 +у 2 =16 будет окружность. Точки, принадлежащие данной окружности, являются решением уравнения. Рядом с уравнением строится на координатной плоскости окружность радиусом 4 с центром О в начале координат. График второго уравнения представляет собой параболу, ветви которой опущены вниз. На координатной плоскости построена данная парабола, соответствующая графику уравнения. Любая точка, принадлежащая параболе, представляет собой решение уравнения у=-х 2 +2х+4. Объясняется, что решение системы уравнений - точки на графиках, принадлежащие одновременно графикам обоих уравнений. Это значит, что точки пересечения построенных графиков будут являться решениями системы уравнений.
Отмечается, что графический метод состоит в нахождении приближенного значения координат точек, находящихся на пересечении двух графиков, которые отражают множество решений каждого уравнения системы. На рисунке отмечаются координат найденных точек пересечения двух графиков: А, B, C, D[-2;-3,5]. Данные точки - решения системы уравнений, найденные графическим способом. Проверить их правильность можно, подставив в уравнение и получив справедливое равенство. После подстановки точек в уравнение, видно, что часть точек дает точное значение решения, а часть представляет приближенное значение решения уравнения: х 1 =0, у 1 =4; х 2 =2, у 2 ≈3,5; х 3 ≈3,5, у 3 =-2; х 4 =-2, у 4 ≈-3,5.
Видеоурок подробно объясняет суть и применение графического способа решения системы уравнений. Это дает возможность использовать его в качестве видеопособия на уроке алгебры в школе при изучении данной темы. Также материал будет полезен при самостоятельном изучении учениками и может помочь объяснить тему при дистанционном обучении.
Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение
Поповская средняя общеобразовательная школа
имени Героя Советского Союза Н.К. Горбанева
Открытый урок
учителя математики
Ворониной Веры Владимировны,
по математике в 9 классе
по теме: «Графический способ решения систем уравнений»
Тип урока: урок изучения нового материала.
2017/2018 учебный год
Графический способ решения систем уравнений. 9-й класс
Воронина Вера Владимировна, учитель математики.
ли урока:
дидактические:
открыть совместнос учащимися новый способ решения систем уравнений;
вывести алгоритм решения систем уравнений графическим способом;
уметь определять сколько решений имеет система уравнений;
учить находить решения системы уравнений графическим способом;
повторить построение графиков элементарных функций;
создать условия для контроля (самоконтроля) учащихся:
воспитательные:
воспитание ответственного отношения к труду,
аккуратности ведения записей.
Ход урока.
I. Организационный момент.
Что такое функция? (слайд 3-11)
Что называется графиком функции?
Какие виды функций вы знаете?
Какой формулой задается линейная функция? Что является графиком линейной функции?
Какой формулой задается прямая пропорциональность? Что является ее графиком?
Какой формулой задается обратная пропорциональность? Что является ее графиком?
Какой формулой задается квадратичная функция? Что является ее графиком?
Каким уравнением задается уравнение окружности?
Что называют графиком уравнения с двумя переменными; (слайд 12)
Организуется знакомство с уравнениями, используемыми в высшей математике и их графиками (строфоидой, Лемнискатой Бернулли, астроидой, кардиоидой). (слайд 13-16)
Рассказ учителя сопровождается показом слайдов с данными графиками.
Выразите переменную у через переменную х:
а) у - х² = 0
б) х + у + 2 = 0
в) 2х - у + 3 = 0
г) ху = -12
Является ли пара чисел (1; 0) решением уравнения
а) х² +у = 1;
б) ху + 3 = х;
в) у(х +2) = 0.
Что является решением системы уравнений с двумя переменными?
Какая из пар чисел является решением системы уравнений
а) (6; 3)
б) (- 3; - 6)
в) (2; - 1)
г) (3; 0)
Из каких уравнений можно составить систему уравнений, решением которой будет пара чисел (2; 1)
а) 2х - у = 3
б) 3х - 2у = 5
в) х² + у² = 4
г) ху = 2
III. Актуализация знаний учащихся по изученному материалу . (слайд 20, 21)
Сегодня мы повторим и закрепим один из способов решения систем уравнений. Закрепление изученного материала осуществляется с помощью наглядного восприятия (на слайде представлено графическое решение системы уравнений):
Графиком уравнения с двумя переменными называется множество точек координатной плоскости, координаты которых обращают уравнение в верное равенство. Графики уравнений с двумя неизвестными весьма разнообразны.
Вопросы по данному слайду:
Что является графиком уравнения x² + y²=25?
Что является графиком уравнения y = - x² +2x +5?
Координаты любой точки окружности будут удовлетворять уравнению x² + y²=25, координаты любой точки параболы будут удовлетворять уравнению y = - x² +2x +5.
Координаты каких точек будут удовлетворять и первому и второму уравнениям?
Сколько точек пересечения у данных графиков?
Сколько решений имеет данная система?
Назвать эти решения?
Что нужно сделать, чтобы графически решить систему уравнений с двумя переменными?
Предлагается слайд, на котором приведен алгоритм графического способа решения систем уравнений с двумя неизвестными.
Графический способ применим к решению любой системы, но с помощью графиков уравнений можно приближенно находить решения системы. Лишь некоторые найденные решения системы могут оказаться точными. В этом можно убедиться, подставив их координаты в уравнения системы.
IV. Применение изученного способа решения систем уравнений.
1. Решить графически систему уравнений (слайд 23)
Что является графиком уравнения ху = 3?
Что является графиком уравнения 3х - у =0?
2. Запишите систему, определяемую этими уравнениями и ее решение. (слайд 24)
Постановка наводящих вопросов:
Запишите систему, определяемую данными уравнениями?
Сколько точек пересечения имеют данные графики?
Сколько решений имеет данная система уравнений?
Назвать решения данной системы уравнений?
3. Выполнение задание из ГИА (слайд 25).
4. Решить графически систему уравнений (слайд 26)
Задание выполняется учащимися в тетрадях. Решение проверяется.
V. Итоги урока.
Что называется решением системы уравнений с двумя переменными?
С каким способом решения систем уравнений с двумя переменными вы познакомились?
В чём его суть?
Дает ли данный способ точные результаты?
В каком случае система уравнений не будет иметь решений?
VI . Домашнее задание.
П. 18, №№ 420 (237), 425 (240)
Дата: ________________
Предмет: алгебра
Тема: «Графический способ решения систем уравнений».
Цели: Использовать графики для решения систем уравнений.
Задачи:
Образовательная: научить решать системы линейных уравнений с двумя переменными графическим способом.
Развивающая: развитие исследовательских способностей учащихся, самоконтроля, речи.
Воспитывающая: воспитание культуры общения, аккуратности.
Тип урока: комбинированный
Формы: Фронтальный опрос, работа в парах.
Ход урока:
Организационный этап. Сообщение темы урока, постановка целей урока. (в тетради записать число, тему)
Проверка домашнего задания (разбор нерешенных задач);
Контроль усвоения материала:
Повторение и закрепление пройденного материала:
| Вариант №1 | Вариант №2 |
| Постройте график функции: (ху-1)(х+1)=0 (х-2) 2 +(у+1) 2 =4 | Постройте график функции: (ху+1)(у-1)=0 (х-1) 2 +(у+2) 2 =4 |
Актуализация опорных знаний:
Определение линейного уравнения с двумя переменными.
Что называется решением линейного уравнения с двумя переменными?
Что называется графиком линейного уравнения с двумя переменными?
Что является графиком линейного уравнения с двумя переменными?
Сколько точек определяет прямую?
Что значит решить систему уравнений?
Что называется решением системы линейных уравнений с двумя переменными?
Когда две прямые на плоскости пересекаются?
Когда две прямые на плоскости параллельны?
Когда две прямые на плоскости совпадают?
Изучение нового материала:
Рассмотрим систему двух уравнений с двумя неизвестными . Решением системы уравнений называют пару значений переменных, которые обращают каждое уравнение системы в верное равенство . Решить систему уравнений означает, найти все ее решения или доказать, что решений нет.
Одним из эффективных и наглядных способов решения и исследования уравнений и систем уравнений графический способ.
Алгоритм построения графика уравнения с двумя переменными.
Выразить переменную у через х.
«Взять» точки, определяющие график.
Построить график уравнения
Алгоритм решения системы уравнений с двумя переменными графическим способом.
Построить графики каждого из уравнений системы.
Найти координаты точки пересечения.
Записать ответ.
Пример 1
Решим систему уравнений: 
Построим в одной системе координат графики первого х
2
+
у 2 = 25
(окружность) и второго ху
= 12 (гипербола) уравнений. Видно что
графики уравнений пересекаются в четырех точках А
(3;
4), В
(4;
3)
С(-3;-4) и Д(-4;
3), координаты которых являются решениями
одной системы.
Т
ак как при графическом способе решения могут быть найдены с некоторой точностью, то их необходимо проверить подстановкой.
Проверка показывает, что система действительно имеет четыре решения: (3;4),(4;3),(-3;-4),(-4;-3).
Задание на уроке: №415 (б); № 416; № 419 (б); № 420 (б); № 421 (а, б); № 422 (а); №424(б); №426 стр. 115-117.
Подвести итоги (оценки).
Рефлексия.
Повторим алгоритм решения систем уравнений графическим способом.
Сколько решений может иметь система уравнений?
Кто научился решать системы л уравнений графическим способом?
Кто не научился?
Кто ещё сомневается?
Поднимите руки, кому урок понравился? Кому нет? Кто равнодушен?
Домашнее задание: §18 стр. 114-115 выучить правила.
§17 стр.108-110 повторить правила.
На этом уроке мы будем рассматривать решение систем двух уравнений с двумя переменными. Вначале рассмотрим графическое решение системы двух линейных уравнений, специфику совокупности их графиков. Далее решим несколько систем графическим методом.
Тема: Системы уравнений
Урок: Графический метод решения системы уравнений
Рассмотрим систему
Пару чисел которая одновременно является решением и первого и второго уравнения системы, называют решением системы уравнений .
Решить систему уравнений - это значит найти все её решения, или установить, что решений нет. Мы рассмотрели графики основных уравнений, перейдем к рассмотрению систем.
Пример 1. Решить систему 
Решение:
Это линейные уравнения, графиком каждого из них является прямая. График первого уравнения проходит через точки (0; 1) и (-1; 0). График второго уравнения проходит через точки (0; -1) и (-1; 0). Прямые пересекаются в точке (-1; 0), это и есть решение системы уравнений (Рис. 1).
Решением системы является пара чисел Подставив эту пару чисел в каждое уравнение, получим верное равенство.
Мы получили единственное решение линейной системы.
Вспомним, что при решении линейной системы возможны следующие случаи:
cистема имеет единственное решение - прямые пересекаются,
система не имеет решений - прямые параллельны,
система имеет бесчисленное множество решений - прямые совпадают.
Мы рассмотрели частный случай системы, когда p(x; y) и q(x; y) - линейные выражения от x и y.
Пример 2. Решить систему уравнений 
Решение:
График первого уравнения - прямая, график второго уравнения - окружность. Построим первый график по точкам (Рис. 2).
Центр окружности в точке О(0; 0), радиус равен 1.
Графики пересекаются в т. А(0; 1) и т. В(-1; 0).
Пример 3. Решить систему графически
Решение: Построим график первого уравнения - это окружность с центром в т.О(0; 0) и радиусом 2. График второго уравнения - парабола. Она сдвинута относительно начала координат на 2 вверх, т.е. ее вершина - точка (0; 2) (Рис. 3).
Графики имеют одну общую точку - т. А(0; 2). Она и является решением системы. Подставим пару чисел в уравнение, чтобы проверить правильность.
Пример 4. Решить систему
Решение: Построим график первого уравнения - это окружность с центром в т.О(0; 0) и радиусом 1 (Рис. 4).
Построим график функции Это ломаная (Рис. 5).
Теперь сдвинем ее на 1 вниз по оси oy. Это и будет график функции
Поместим оба графика в одну систему координат (Рис. 6).
Получаем три точки пересечения - т. А(1; 0), т. В(-1; 0), т. С(0; -1).
Мы рассмотрели графический метод решения систем. Если можно построить график каждого уравнения и найти координаты точек пересечения, то этого метода вполне достаточно.
Но часто графический метод даёт возможность найти только приближенное решение системы или ответить на вопрос о количестве решений. Поэтому нужны и другие методы, более точные, и ими мы займемся на следующих уроках.
1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Учеб. Для общеобразоват. Учреждений.- 4-е изд. - М.: Мнемозина, 2002.-192 с.: ил.
2. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М.: Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.
3. Макарычев Ю. Н. Алгебра. 9 класс: учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, И. Е. Феоктистов. — 7-е изд., испр. и доп. — М.: Мнемозина, 2008.
4. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. Алгебра. 9 класс. 16-е изд. - М., 2011. - 287 с.
5. Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — 12-е изд., стер. — М.: 2010. — 224 с.: ил.
6. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др.; Под ред. А. Г. Мордковича. — 12-е изд., испр. — М.: 2010.-223 с.: ил.
1. Раздел College.ru по математике ().
2. Интернет-проект «Задачи» ().
3. Образовательный портал «РЕШУ ЕГЭ» ().
1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М. : Мнемозина, 2002.-143 с.: ил. № 105, 107, 114, 115.
