Как правильно считать пропорции. Решение задач с помощью пропорции

Некоторые линейные уравнения имеют вид, который сильно напоминает обыкновенную пропорцию. Например, рассмотрим такое уравнение.

Для решения уравнения с пропорцией используют правило пропорции или, как его называют по-другому, правило креста.

Подробно понятие пропорции мы рассматривали в уроке «Пропорции». В этом уроке мы вспомним только основные моменты необходимые для решения уравнений с пропорцией .

Правило пропорции или правило креста

Произведение крайних членов пропорции равно произведению средних.

По-другому сформулировать правило выше можно так: если нарисовать крест поверх пропорции, то произведения членов пропорции, которые лежат на концах креста, равны.

Вернемся к нашему уравнению. Решим его, использую правило пропорции. Нарисуем поверх пропорции крест.

Теперь по правилу пропорции (правило креста) запишем пропорцию в виде равенства произведений крайних и средних членов пропорции.

Вспомним правило деления и решим уравнение до конца. В ответе не забудем выделить целую часть у дроби.

Рассмотрим другой пример уравнения с пропорцией.

Такое уравнение также решается с помощью правила пропорции.

Если в члене пропорции присутствуют знаки « + » или « − », обязательно заключайте этот член пропорции в скобки перед использованием правила пропорции.

Если вы не заключите в скобки такой член пропорции, то с большей вероятностью сделаете ошибку, когда будете использовать правило пропорции.

После заключения в скобки члена пропорции « (2 − x) » используем правило пропорции для дальнейшего решения.

Теперь раскроем скобки с помощью правила раскрытия скобок.

Из урока «Решение линейных уравнений» используем правило переноса и правило деления для уравнений.

Не забудем при делении на отрицательное число, использовать правило знаков.

Иногда уравнения с пропорцией могут быть представлены следующим образом:

Чтобы было проще использовать правило пропорции (правило креста) нужно записать исходное уравнение, в общем для пропорции виде.

Для этого нужно вспомнить, что знак деления « : » можно заменить на дробную черту.

Что такое пропорция

Здесь мы рассмотрим, что такое пропорция, как называются члены пропорции и основное свойство пропорции.

Пропорция - это равенство двух отношений.

С помощью букв пропорцию записывают так:

Читают: «a относится к b как c относится к d» или «отношение a к b равно отношению c к d».

Числа a и d называют крайними членами пропорции, числа b и c - средними членами пропорции:

Здесь 4,8 и 1,2 - крайние члены пропорции, 1,6 и 3,6 - средние члены пропорции.

Здесь 2,1 и 6 - крайние члены пропорция, 8,4 и 1,5 - средние члены пропорции.

Основное свойство пропорции:

Произведение крайних членов пропорции равно произведению ее средних членов.

Отсюда следует, что

Таким образом, если в пропорции поменять местами крайние члены или средние члены, то получим новые верные пропорции.

Пропорция- это равенство. Если это равенство содержит переменную, значение которой надо найти, то оно является уравнением. Как решать пропорции, мы рассмотрим в следующий раз.
Кроме того, пропорции используются для решения некоторых задач. В частности, пропорции существенно облегчают решение задач на проценты. Позже мы рассмотрим также решение задач с помощью пропорций.

Геометрическая пропорция

370. Но если величины находятся в геометрической пропорции, произведение её крайних членов равно произведению их средних членов .
Если a:b = c:d, ad = bc
Согласно допущению, (Статьи. 341, 359.) $\frac =\frac $
Умножив на bd, (Аксиома 3.) $\frac =\frac $
Упростив дроби, ad = bc.
Так 12:8 = 15:10, поэтому 12*10 = 8*15.

Соотв: Любой множитель может быть перенесён от одной средней величины к другой, без влияния на пропорцию. Если a:mb = x:y, то a:b = mx:y. При этом произведение средних величин в обоих случаях одинаково. И если na:b = x:y, то a:b = x:ny.

371. С другой стороны, если произведение двух величин равно произведению двух других, то четыре величины сформируют пропорцию, где они сгруппированы таким образом, что одна сторона уравнения будет содержать средние члены, а другая — крайние.
Если my = nh, то m:n = h:y, то есть$\frac =\frac $
Таким образом разделив my = nh на ny, мы получим$\frac =\frac $
Упростив дроби, $\frac =\frac $.

Соотв. То же самое должно быть верно по отношению любых множителей , которые образуют две стороны равенства.
Если (a + b).c = (d — m).y, то a + b:d — m = y:c.

372. Если три величины пропорциональны, то произведение их крайних членов равно квадрату средних. Таким образом одновременно пропорциональны также второй член первой пары и предыдущий член последней. (Статья. 366.) Следовательно они должны быть умножены на себя , то есть возведены в квадрат .
Если a:b = b:c, тогда умножение крайних и средних членов, ac = b 2 .
Следовательно, среднее пропорциональное двух величин может быть найдено путём извлечения квадратного корня из их произведения .
Если a:x = x:c, то x 2 = ac, и x√ ac .

373. Из Статьи. 370 следует, что соотношение любого из крайних членов равно произведению средних, разделённых на другой крайний член. И любой из средних членов равен произведению крайних членов, разделённому на другой средний член.
1. Если a:b = c:d, то ad = bc
2. Разделим на d, $a=\frac $
3. Сначала разделим на c, $b=\frac $
4. Разделим это на b, $c=\frac $
5. Разделим на a, $d=\frac $ ; Это значит, что
четвёртый член равен произведению второго и третьего, разделённому на первый .

На этом принципе основаны простые пропорции арифметики, которые часто называют Тройным Правилом . Три числа даны, чтобы найти четвёртое, которое получают путём умножения второго на третье и деления на первое.

374. Утверждение относительно произведений средних и крайних членов предоставляет очень простой и удобный критерий определения того, пропорциональны ли любые четыре величины. Нам только нужно перемножить средние и крайние члены. Если произведения равны, то величины пропорциональны. Если произведения не равны, то величины не пропорциональны.

375. В математических исследованиях, когда даны отношения нескольких величин, то они часто определены в виде пропорции. Но, как правило, необходимо, чтобы эта первая пропорция претерпела ряд трансформаций прежде, чем отчётливо выявится неизвестная величина или утверждение, которое мы хотели доказать. Она может пройти изменения, которые не окажут влияние на равенство отношений или которые обнаружат произведение средних членов равное произведению крайних.

В первую очередь очевидно, что любая перемена в расстановке , которая не окажет влияния на эти равенство этих двух произведений, не уничтожит пропорции. Поэтому, если a:b = c:d, то порядок этих величин может варьироваться, что в любом случае приведёт к ad = bc. Отсюда,

376. Если четыре величины пропорциональны, то порядок средних членов, или крайних членов, или членов обоих пар, может быть инвертирован без разрушения пропорции.
Если a:b = c:d,
И 12:8 = 6:4
тогда
1. Инвертируя средние члены ,
a:c = b:d
12:6 = 8:4
то есть
Первый относится к третьему
Как второй к четвёртому .
Другими словами, отношение предыдущих членов равно отношению последующих .

Эта инверсия средних членов часто упоминается в геометрии под названием Альтернация .

2. Инвертируя крайние члены ,
d:b = c:a
4:8 = 6:12
то есть,
Четвёртый относится ко второму ,
Как третий к первому .

3. Инвертируя члены каждой пары ,
b:a = d:c
8:12 = 4:6
то есть,
Второй относится к первому ,
Как четвёртый к третьему .
Технически это называется Инверсией .
Каждое из этого также может варьироваться, меняя порядок двух пар . (Статья. 365.)

Соотв. Порядок всей пропорции может быть инвертирован.
Если a:b = c:d, то d:c = b:a.
В каждом из данных случаев будет немедленно видно, что вычисляя произведения средних и крайних членов, у нас получается ad = bc, и 12.4 = 8.6.
Если члены только одной из пар инвертированы, то пропорция становится обратной . (Статья 367.)
Если a:b = c:d, то a относится к b, обратно тому, как d относится к c.

377. Разница в расположении не единственная алтернация, которую производят по отношению к членам пропорции. Часто бывает нужным умножить, разделить, возвести в степень и так далее. Во всех случаях искусство ведения исследования заключается в произведении некоторых изменений, при этом сохраняется постоянное равенство между отношением двух первых и двух последних членов. При решении уравнения, мы должны сохранять равенство сторон , так варьируя пропорцию, чтобы сохранить и равенство соотношений . И это достигается либо путём сохранения соотношений теми же , что и при альтернации членов, либо увеличивая или уменьшая одно из соотношений на столько же, как и другое . Большинство последующих доказательств направлены на чёткое выявление этого принципа и ознакомление с ним. Некоторые из утверждений могут быть доказаны более простым способом, возможно, путём умножения крайних и средних членов. Но это не даст ясного понимания природы некоторых изменений в пропорциях.

Было показано, что если оба члена пары умножены или разделены на одинаковую величину, то их соотношение остаётся одинаковым (Статья. 355.) Так умножая предыдущий член (антецедента) проявится в умноженном соотношении, а деление последующего члена (консеквента) — в делении соотношения. (Статья. 352.) и следующие показывают, что умножение консеквента проявится в делении соотношения, а его деление — в произведении соотношения. (Статья. 353.) Так как соотношения в пропорции равны, то если их перемножить или разделить на одинаковую величину, то они всё ещё будут равны (Аксиома. 3.) Одно будет увеличено или уменьшено, так же как и второе. Отсюда,

378. Если четыре величины пропорциональны, два аналогичных или гомологичных члена могут быть умножены или разделены на одну и ту же величину, без нарушения пропорции.

Если аналогичные члены будут умножены или разделены, то их соотношения не поменяются. (Статья, 355.) Если гомологичные члены будут умножены или разделены, оба соотношения одинаково увеличатся или уменьшатся. (Статьи. 352, 353.)
Если a:b = c:d, то,
1. Умножая первые два члена, ma:mb = c:d
2. Умножая последние два члена, a:b = mc:md
3. Умножая два первых члена (антецедента), ma:b = mc:d
4. Умножая два последних члена (консеквента), a:mb = c:md
5. Разделив два первых члена, $\frac:\frac =c:d$
6. Разделив два последних члена, $a:b=\frac:\frac $
7. Разделив два антецедента, $\frac:b=\frac:d$ a/m:b = c/m:d
8. Разделив два консеквента, $a:\frac =c:\frac $ a:b/m = c:d/m.

Следствие. 1. Все члены могут быть умножены или разделены на одну и ту же величину.
ma:mb = mc:md, $\frac:\frac =\frac:\frac $.

Следствие. 2. В любом случае, в данной статье умножение консеквентов может быть заменено делением антецедентов той же самой пары, и деление консеквентов — умножением антецедентов. (Статья. 354, след.)

379. Часто бывает необходимо не только изменить члены пропорции и варьировать их расположение, но и сравнить одну пропорцию с другой . Из этого сравнения часто возникает новая пропорция, которая может быть необходима для решения задачи или перехода к доказательству. Один из самых важных случаев, когда сравниваемые два члена одной пропорции такие же как два в другой. Похожие члены могут исчезнуть , и новая пропорция может быть сформирована из оставшихся четырёх членов. Так,

380. Если два соотношения соответсвтенно равны третьему, то они также равны между собой.
Это не что иное, как 11ая аксиома, применяемая к соотношениям.
1. Если a:b = m:n
И c:d = m:n
тогда a:b = c:d,или a:c = b:d. (Статья.376.)
2. Если a:b = m:n
И m:n = c:d
то a:b = c:d,или a:c = b:d.

След. Если a:b = m:n
m:n > c:d
то a:b > c:d.
Так если соотношение m:n больше, чем c:d, то это показывает, что соотношение a:b, которое равно соотношению m:n, также больше чем соотношение c:d.

381. В этих примерах схожие члены двух пропорций это два первых и два последних . И порядок не важен. Порядок членов может быть изменён разными способами без влияния на равенство соотношений.

1. Похожими членами могут быть два антецедента , или два косеквента в каждой пропорции. Таким образом,
Если m:a = n:b
И m:c = n:d
тогда
Чередуем, m:n = a:b
И m:n = c:d
Отсюда a:b = c:d, или a:c = b:d, согласно последнему параграфу.

2. Антецеденты в одной пропорции, могут быть такими же как консеквенты в другой.
Если m:a = n:b
И c:m = d:n
Инветрируя и чередуя a:b = m:n
Чередуя c:d = m:n:
Поэтому a:b, и так далее как ранее.

3. Два гомологичных члена в одной из пропорций могут быть такими же, как два аналогичные члены в другой.
Если a:m = b:n
и c:d = m:n
Чередуя, a:b = m:n
И c:d = m:n
Поэтому, a:b, и так далее.

Всё это примеры равенства между соотношениями в одной пропорции с соотношениями в другой. В геометрии на предположение, к которому они принадлежат обычно ссылаются как на «ex aequo «или «ex aequali » (по справедливости). Второй случай в этой статье более всего отвечает объяснению Евклида. Но оба они все согласуются с одним и тем же принципом и часто к ним обращаются без разграничений.

382. Любое число пропорций может быть сравнено аналогичным способом, если два первых или два последних члена в каждой предыдущей пропорции такие же, как два первые и два последние члена в последующей.
Поэтому если a:b = c:d
И c:d = h:l
И h:l = m:n
И m:n = x:y
то a:b = x:y.
То есть два первых члена первой пропорции имеют такое же соотношение, как два последних члена последней пропорции. Это показывает, что соотношение всех пар одинаково.

И если члены не находятся в том же порядке как здесь, но могут быть упрощены к данному виду, применяется тот же самый принцип.
поэтому если a:c = b:d
И c:h = d:l
И h:m = l:n
И m:x = n:y
тогда чередуя
a:b = c:d
c:d = h:l
h:l = m:n
m:n = x:y.
Поэтому a:b = x:y, как и ранее.

Во всех примерах в этой и предшествующих статьях, два члена в одной пропорции, у которых есть равные члены в другой, не являются ни двумя средними членами , ни двумя крайними членами , а одним средним и одним крайним членом, из чего следует, что пропорция однородна и непрерывна .

383. Но если два средних или два крайних члена в одной пропорции такие же, как средние и крайние члены в другой, то оставшиеся четыре члена будут взаимно пропорциональны .
Если a:m = n:b
И c:m = n:d
тогда a:c = $\frac :\frac $, или a:c = d:b

Для ab = mn
И cd = mn
(Статья. 370) Поэтому ab = cd, и a:c = d:b.

В данном примере два средних члена в одной пропорции, такие же как те же в другой. Но принцип будет тем же, если крайние члены не равны или если крайние члены одной пропорции не равны средним членам другой.
Если m:a = b:n
И m:c = d:n
тогда a:c = d:b.

Или if a:m = n:b
И m:c = d:n
тогда a:c = d:b.
Теорема в геометрии, которая применима в данном случае обычно именуется словами «ex aequo perturbate » (по правде запутанная).

384. Другой способ варьировать члены в пропорции это сложение или вычитание .

Если к или от двух гомологичных членов пропорци вычитаются или прибавляются две другие величины, которые находятся в том же соотношении, то пропорция остаётся верной.

Соотношение не меняется, если добавить или отнять от него другое равное соотношение. (Статья. 357.)
Если a:b = c:d
И a:b = m:n
Тогда добавляя или отнимая от a и b, члены с равным соотношением m:n, мы получим
a+m:b+n = c:d, и a-m:b-n = c:d.
И добавляя или отнимая m и n к или от c и d, мы получим,
a:b = c+m:d+n, и a:b = c-m:d-n.

Здесь сложение и вычитание производится к и от аналогичных членов. Но путём чередования (Статья. 376,) эти члены будут гомологичными , и мы получим,
a+m:c = b+n:d, и a-m:c = b-n:d.

След. 1. Это добавление может распространяться на любое число равных соотношений.
Таким образом, если
a:b = c:d
a:b = h:l
a:b = m:n
a:b = x:y
Тогда a:b = c+h+m+x:d+l+n+y.

След. 2. Если a:b = c:d
И m:b = n:d
тогда a+m:b = c+n:d.

Чередуем a:c = b:d
И m:n = b:d
таким образом
a+m:c+n = b:d
или a+m:b = c+n:d.

385. Из последней статьи следует, что если в любой пропорции члены прибавляются или отнимаются друг от друга , то,

Если аналогичные и гомологичные члены добавляются или отнимаются от двух других, то пропорция сохраняется верной.
Таким образом, если a:b = c:d, и 12:4 = 6:2, тогда ,

1. Добавляя два последних члена к двум первым .
a+c:b+d = a:b 12+6:4+2 = 12:4
и a+c:b+d = c:d 12+6:4+2 = 6:2
или a+c:a = b+d:b 12+6:12 = 4+2:4
и a+c:c = b+d:d 12+6:6 = 4+2:2.

2. Складывая два антецедента с двумя консеквентами .
a+b:b = c+d:d 12+4:4 = 6+2:2
a+b:a = c+d:c, т.д.. 12+4:12 = 6+2:6, т.д..
Это называется Композицией .

3. Отнимая два первых члена от двух последних .
c-a:a = d-b:b
c-a:c = d-b:d, т.д..

4. Отнимая два последних члена от двух первых .
a-c:b-d = a:b
a-c:b-d = c:d, т.д..

5. Отнимая консеквенты от антецедентов .
a-b:b = c-d:d
a:a-b = c:c-d, etc.
Преобразование, показанное в последней форме называется Конверсией .

6. Отнимая антецеденты от консеквентов .
b-a:a = d-c:c
b:b-a = d:d-c, etc.

7. Добывляя и вычитая,
a+b:a-b = c+d:c-d.
То есть сумма первых двух членов относится к их разности, как сумма двух последних к их разности.

След. Если любые сложные величины, расставленые как в предыдущих примерах, пропорциональны, то простые величины, из которых они состоят также пропорциональны.
Таким образом, если a+b:b = c+d:d, то a:b = c:d.
Это называется Делением .

386. Если соответствующие члены двух или более разрядов пропорциональных величин перемножить между собой, то произведение также будет пропорционально .

Это смешанные соотношения (Статья. 347,) или смешанные пропорции. Это нужно уметь отличать от того, что называется композицией , которая является сложением членов соотношения. (Статья 385. 2.)
Если a:b = c:d 12:4 = 6:2
И h:l = m:n 10:5 = 8:4
Тогда ah:bl = cm:dn 120:20 = 48:8.
Исходя из определения пропорции два соотношения первого разряда равны, как и соотношения второго разряда. И умножение соответствующих членов является умножением соотношений, (Статья. 352. соотв.), то есть умножением равных на равные (Аксиома. 3.), так что соотношения будут всё так же равными, и поэтому все четыре произведения должны быть пропорциональны.

Такое же доказательство применимо к любому числу пропорций.
Если
a:b = c:d
h:l = m:n
p:q = x:y
Тогда ahp:blq = cmx:dny.
Из этого следует, что если члены пропорции перемножить на самих себя , то есть, если они возведены в какую-либо степень , то они всё равно будут пропорциональны.
Если a:b = c:d 2:4 = 6:12
a:b = c:d 2:4 = 6:12
Тогда a 2:b 2 = c 2:d 2 4:16 = 36:144
Пропорциональные величины также получаются реверсируя этот процесс, то есть вычисляя корни членов пропорции.
Если a: b:: c: d, тогда √ a:√ b = √ c:√ d .
Перемножив средние и крайние члены, ad = bc
И извлекя корень из обеих сторон, √ ad = √ bc
То есть, (Статья. 254, 371,) √ a:√ b = √ c:√ d .
Отсюда,

387. Если некоторые величины пропорциональны, то продукты их возведения в степень или извлечения корней пропорциональны .
Если a:b = c:d
Тогда a n:b n = c n:d n , и m √ a: m √ b = m √ c: m √ d .
И m √ a n: m √ b n = m √ c n:√ d n , то есть, a m/n:b m/n = c m/n:d m/n .

388. Если члены одного разряда пропорций разделить на соответствующие члены другого разряда, то частные будут пропорциональны.
Это иногда называют решением соотношений.
Если a:b = c:d 12:6 = 18:9
И h:l = m:n 6:2 = 9:3
Тогда $\frac:\frac =\frac:\frac $ $\frac:\frac =\frac:\frac $.
Это просто реверсия процесса в Статье. 386, и может быть доказана похожим образом.
Это нужно уметь различать от того, что в геометрии называется разделением , которое является вычитанием членов соотношения. (Статья. 385. соотв.)

389. В сложных смешанных пропорциях, равные множители или делители двух аналогичных или гомологичных членов могут быть отвергнуты .
Если
a:b = c:d 12:4 = 9:3 b, c > d
a

6.1.1. Пропорция. Основное свойство пропорции

Равенство двух отношений называют пропорцией.

Тема: «Отношение» рассмотрена на предыдущем занятии («6.1. Отношение»).

a: b = c: d . Это пропорция. Читают: а так относится к b , как c относится к d . Числа a и d называют крайними членами пропорции, а числа b и c – средними членами пропорции.

Пример пропорции : 1 2: 3 = 16: 4 . Это равенство двух отношений: 12:3= 4 и 16:4= 4 . Читают: двенадцать так относится к трем, как шестнадцать относится к четырем. Здесь 12 и 4 -крайние члены пропорции, а 3 и 16 — средние члены пропорции.

Основное свойство пропорции.

Произведение крайних членов пропорции равно произведению ее средних членов.

Для пропорции a: b = c: d или a / b = c / d основное свойство записывается так: a·d = b·c .

Для нашей пропорции 12: 3 = 16: 4 основное свойство запишется так: 12·4 = 3·16 . Получается верное равенство: 48=48 .

Чтобы найти неизвестный крайний член пропорции, нужно произведение средних членов пропорции разделить на известный крайний член.

Примеры. Найти неизвестный крайний член пропорции.

1) х: 20 = 2: 5 . У нас х и 5 - крайние члены пропорции, а 20 и 2 - средние.

Решение.

х = (20·2):5 - нужно перемножить средние члены (20 и 2 ) и результат разделить на известный крайний член (число 5 );

х = 40: 5 - произведение средних членов (40 ) разделим на известный крайний член (5 );

х = 8. Получили искомый крайний член пропорции.

Удобнее записывать нахождение неизвестного члена пропорции с помощью обыкновенной дроби. Вот как тогда запишется рассмотренный нами пример:

Искомый крайний член пропорции (х ) будет равен произведению средних членов (20 и 2 ), деленному на известный крайний член (5 ).

Сокращаем дробь на 5 (делим на 5 х .

Если забыли, как сокращать обыкновенные дроби, то повторите тему: «5.4.2. Примеры сокращения обыкновенных дробей»

Еще такие примеры на нахождение неизвестного крайнего члена пропорции.

Чтобы найти неизвестный средний член пропорции, нужно произведение крайних членов пропорции разделить на известный средний член.

Примеры. Найти неизвестный средний член пропорции.

5) 9: х = 3: 14. Число 3 - известный средний член данной пропорции, числа 9 и 14 - крайние члены пропорции.

Решение.

х = (9·14):3 - перемножим крайние члены пропорции и результат разделим на известный средний член пропорции;

х= 136:3;

Решение этого примера можно записать иначе:

Искомый средний член пропорции (х ) будет равен произведению крайних членов (9 и 14 ), деленному на известный средний член (3 ).

Сокращаем дробь на 3 (делим на 3 и числитель и знаменатель дроби). Находим значение х .

Еще такие примеры на нахождение неизвестного среднего члена пропорции.

www.mathematics-repetition.com

Решение пропорций

Рассмотрим решение пропорций на конкретных примерах.

Решить уравнения с пропорцией:

1) 25: x = 10: 18

Здесь x - неизвестный средний член пропорции. Чтобы найти неизвестный средний член пропорции, произведение крайних членов разделим на известный средний член:

25 и 10 сокращаем на 5. Затем 18 и 2 сокращаем на 2.

Здесь y - неизвестный крайний член пропорции. Чтобы найти неизвестный крайний член пропорции, произведение средних членов делим на известный крайний член:

При решении пропорций с десятичными дробями удобно для упрощения вычислений использовать основное свойство дроби.

Чтобы найти неизвестный средний член пропорции, произведение крайних членов делим на известный средний член пропорции:

В числителе после запятой в общей сложности два знака, в знаменателе - один. Поэтому, умножив и числитель, и знаменатель на 100, мы получим дробь, равную данной. В числителе умножение на 100 распределим так: каждый из множителей умножим на 10. В знаменателе 0,6 умножим на 10 и результат умножим на 10:

Сокращаем 24 и 6 на 6, 10 и 45 - на 5:

Еще раз сокращаем 4 и 2 на 2:

Решение пропорций с обыкновенными дробями и смешанными числами удобнее записывать в строчку.

Чтобы найти неизвестный крайний член пропорции, произведение средних членов разделим на известный крайний член:

При решении более сложных пропорций удобно использовать непосредственно основное свойство пропорции.

Произведение крайних членов пропорции равно произведению средних членов:

Здесь удобно упростить уравнение, разделив обе части на 5:

Произведение крайних членов пропорции равно произведению ее средних членов:

Для упрощения вычислений удобно умножить каждую часть уравнения на 10:

Это - линейное уравнение. Неизвестные - в одну сторону, известные - в другую, изменив при этом их знаки:

Обе части уравнения делим на число, стоящее перед иксом.

С точки зрения математики, пропорцией является равенство двух отношений. Взаимозависимость характерна для всех частей пропорции, также как и их неизменный результат. Понять, как составить пропорцию можно, ознакомившись со свойствами и формулой пропорции. Чтобы разобраться с принципом решения пропорции, достаточным будет рассмотреть один пример. Только непосредственно решая пропорции, можно легко и быстро обучиться этим навыкам. А данная статья поможет читателю в этом.

Свойства пропорции и формула

1. Обращение пропорции. В случае, когда заданное равенство выглядит как 1a: 2b =3c: 4d, записывают 2b: 1a = 4d: 3c. (Причем 1a, 2b, 3c и 4d являются простыми числами, отличными от 0).
2. Перемножение заданных членов пропорции крест-накрест. В буквенном выражении это имеет такой вид: 1a: 2b = 3c: 4d, а запись 1a4d = 2b3c будет ему равносильна. Таким образом, произведение крайних частей любой пропорции (числа по краям равенства) всегда является равным произведению средних частей (чисел, расположенных посредине равенства).
3. При составлении пропорции может пригодиться и такое её свойство, как перестановка крайних и средних членов. Формулу равенства 1a: 2b = 3c: 4d, можно отобразить такими вариантами:
   • 1a: 3c = 2b: 4d (когда переставляют средние члены пропорции).
   • 4d: 2b = 3c: 1a (когда переставляют крайние члены пропорции).
4. Прекрасно помогает в решении пропорции её свойство увеличения и уменьшения. При 1a: 2b = 3c: 4d, записывают:
   • (1a + 2b) : 2b = (3c + 4d) : 4d (равенство по увеличению пропорции).
   • (1a – 2b) : 2b = (3c – 4d) : 4d (равенство по уменьшению пропорции).
5. Составить пропорцию можно сложением и вычитанием. Когда пропорция записана как 1a: 2b = 3c: 4d, тогда:
   • (1a + 3с) : (2b + 4d) = 1a: 2b = 3c: 4d (пропорция составлена сложением).
   • (1a – 3с) : (2b – 4d) = 1a: 2b = 3c: 4d (пропорция составлена вычитанием).
6. Также, при решении пропорции, содержащей дробные или большие числа, можно разделить или умножить оба её члена на одинаковое число. К примеру, составные части пропорции 70:40=320:60, можно записать так: 10*(7:4=32:6).
7. Вариант решения пропорции с процентами выглядит так. К примеру, записывают, 30=100%, 12=x. Теперь следует перемножить средние члены (12*100) и разделить на известный крайний (30). Таким образом, получается ответ: x=40%. Подобным способом можно при необходимости совершать перемножение известных крайних членов и делить их на заданное среднее число, получая искомый результат.

Если Вас интересует конкретная формула пропорции, то в самом простом и распространенном варианте пропорция представляет собой такое равенство (формулу): a/b = c/d, в нем a, b, c и d являются отличными от нуля четырьмя числами.

§ 125. Понятие о пропорции.

Пропорцией называется равенство двух отношений. Вот примеры равенств, называемых пропорциями:

Примечание. Наименования величин в пропорциях не указаны.

Пропорции принято читать следующим образом: 2 так относится к 1 (единице), как 10 относится к 5 (первая пропорция). Можно читать иначе, например: 2 во столько раз больше 1, во сколько раз 10 больше 5. Третью пропорцию можно прочесть так: - 0,5 во столько раз меньше 2, во сколько раз 0,75 меньше 3.

Числа, входящие в пропорцию, называются членами пропорции . Значит, пропорция состоит из четырёх членов. Первый и последний члены, т. е. члены, стоящие по краям, называются крайними , а члены пропорции, находящиеся в середине, называются средними членами. Значит, в первой пропорции числа 2 и 5 будут крайними членами, а числа 1 и 10 - средними членами пропорции.

§ 126. Основное свойство пропорции.

Рассмотрим пропорцию:

Перемножим отдельно её крайние и средние члены. Произведение крайних 6 4 = 24, произведение средних 3 8 = 24.

Рассмотрим другую пропорцию: 10: 5 = 12: 6. Перемножим и здесь отдельно крайние и средние члены.

Произведение крайних 10 6 = 60, произведение средних 5 12 = 60.

Основное свойство пропорции: произведение крайних членов пропорции равно произведению средних её членов.

В общем виде основное свойство пропорции записывается так: ad = bc .

Проверим его на нескольких пропорциях:

1) 12: 4 = 30: 10.

Пропорция эта верна, так как равны отношения, из которых она составлена. Вместе с тем, взяв произведение крайних членов пропорции (12 10) и произведение средних её членов (4 30), мы увидим, что они равны между собой, т. е.

12 10 = 4 30.

2) 1 / 2: 1 / 48 = 20: 5 / 6

Пропорция верна, в чём легко убедиться, упростив первое и второе отношения. Основное свойство пропорции примет вид:

1 / 2 5 / 6 = 1 / 48 20

Нетрудно убедиться в том, что если мы напишем такое равенство, у которого в левой части стоит произведение двух каких-нибудь чисел, а в правой части произведение двух других чисел, то из этих четырёх чисел можно составить пропорцию.

Пусть у нас имеется равенство, в которое входят четыре числа, попарно перемноженные:

эти четыре числа могут быть членами пропорции, которую нетрудно написать, если принять первое произведение за произведение крайних членов, а второе - за произведение средних. Изданного равенства можно составить, например, такую пропорцию:

Вообще, из равенства ad = bc можно получить следующие пропорции:

Проделайте самостоятельно следующее упражнение. Имея произведение двух пар чисел, напишите пропорцию, соответствующую каждому равенству:

а) 1 6 = 2 3;

б) 2 15 = б 5.

§ 127. Вычисление неизвестных членов пропорции.

Основное свойство пропорции позволяет вычислить любой из членов пропорции, если он неизвестен. Возьмём пропорцию:

х : 4 = 15: 3.

В этой пропорции неизвестен один крайний член. Мы знаем, что во всякой пропорции произведение крайних членов равно произведению средних членов. На этом основании мы можем написать:

x 3 = 4 15.

После умножения 4 на 15 мы можем переписать это равенство так:

х 3 = 60.

Рассмотрим это равенство. В нём первый сомножитель неизвестен, второй сомножитель известен и произведение известно. Мы знаем, что для нахождения неизвестного сомножителя достаточно произведение разделить на другой (известный) сомножитель. Тогда получится:

х = 60: 3, или х = 20.

Проверим найденный результат подстановкой числа 20 вместо х в данную пропорцию:

Пропорция верна.

Подумаем, какие действия нам пришлось выполнить для вычисления неизвестного крайнего члена пропорции. Из четырёх членов пропорции нам был неизвестен только один крайний; два средних и второй крайний были известны. Для нахождения крайнего члена пропорции мы сначала перемножили средние члены (4 и 15), а затем найденное произведение разделили на известный крайний член. Сейчас мы покажем, что действия не изменились бы, если бы искомый крайний член пропорции стоял не на первом месте, а на последнем. Возьмём пропорцию:

70: 10 = 21: х .

Запишем основное свойство пропорции: 70 х = 10 21.

Перемножив числа 10 и 21, перепишем равенство в таком виде:

70 х = 210.

Здесь неизвестен один сомножитель, для его вычисления достаточно произведение (210) разделить на другой сомножитель (70),

х = 210: 70; х = 3.

Таким образом, мы можем сказать, что каждый крайний член пропорции равен произведению средних, делённому на другой крайний.

Перейдём теперь к вычислению неизвестного среднего члена. Возьмём пропорцию:

30: х = 27: 9.

Напишем основное свойство пропорции:

30 9 = х 27.

Вычислим произведение 30 на 9 и переставим части последнего равенства:

х 27 = 270.

Найдём неизвестный сомножитель:

х = 270: 27, или х = 10.

Проверим подстановкой:

30: 10 = 27: 9. Пропорция верна.

Возьмём ещё одну пропорцию:

12: б = х : 8. Напишем основное свойство пропорции:

12 . 8 = 6 х . Перемножая 12 и 8 и переставляя части равенства, получим:

6 х = 96. Находим неизвестный сомножитель:

х = 96: 6, или х = 16.

Таким образом, каждый средний член пропорции равен произведению крайних, делённому на другой средний.

Найдите неизвестные члены следующих пропорций:

1) а : 3= 10:5; 3) 2: 1 / 2 = x : 5;

2) 8: b = 16: 4; 4) 4: 1 / 3 = 24: х .

Два последних правила в общем виде можно записать так:

1) Если пропорция имеет вид:

х: а = b: с , то

2) Если пропорция имеет вид:

а: х = b: с , то

§ 128. Упрощение пропорции и перестановка её членов.

В настоящем параграфе мы выведем правила, позволяющие упрощать пропорцию в том случае, когда в неё входят большие числа или дробные члены. K числу преобразований, не нарушающих пропорцию, относятся следующие:

1. Одновременное увеличение или уменьшение обоих членов любого отношения в одинаковое число раз.

П р и м е р. 40: 10 = 60: 15.

Увеличив в 3 раза оба члена первого отношения, получим:

120:30 = 60: 15.

Пропорция не нарушилась.

Уменьшив в 5 раз оба члена второго отношения, получим:

Получили опять правильную пропорцию.

2. Одновременное увеличение или уменьшение обоих предыдущих или обоих последующих членов в одинаковое число раз.

Пример. 16:8 = 40:20.

Увеличим в 2 раза предыдущие члены обоих отношений:

Получили правильную пропорцию.

Уменьшим в 4 раза последующие члены обоих отношений:

Пропорция не нарушилась.

Два полученных вывода можно кратко высказать так: Пропорция не нарушится, если мы одновременно увеличим или уменьшим в одинаковое число раз любой крайний член пропорции и любой средний.

Например, уменьшив в 4 раза 1-й крайний и 2-й средний члены пропорции 16:8 = 40:20, получим:

3. Одновременное увеличение или уменьшение всех членов пропорции в одинаковое число раз. Пример. 36:12 = 60:20. Увеличим все четыре числа в 2 раза:

Пропорция не нарушилась. Уменьшим все четыре числа в 4 раза:

Пропорция верна.

Перечисленные преобразования дают возможность, во-первых, упрощать пропорции, а во-вторых, освобождать их от дробных членов. Приведём примеры.

1) Пусть имеется пропорция:

200: 25 = 56: x .

В ней членами первого отношения являются сравнительно большие числа, и если бы мы пожелали найти значение х , то нам пришлось бы выполнять вычисления над этими числами; но мы знаем, что пропорция не нарушится, если оба члена отношения разделить на одно и то же число. Разделим каждый из них на 25. Пропорция примет вид:

8:1 = 56: x .

Мы получили, таким образом, более удобную пропорцию, из которой х можно найти в уме:

2) Возьмём пропорцию:

2: 1 / 2 = 20: 5.

В этой пропорции есть дробный член (1 / 2), от которого можно освободиться. Для этого придётся умножить этот член, например, на 2. Но о д и н средний член пропорции мы не имеем права увеличивать; нужно вместе с ним увеличить какой-нибудь из крайних членов; тогда пропорция не нарушится (на основании первых двух пунктов). Увеличим первый из крайних членов

(2 2) : (2 1 / 2) = 20: 5, или 4: 1 = 20:5.

Увеличим второй крайний член:

2: (2 1 / 2) = 20: (2 5), или 2: 1 = 20: 10.

Рассмотрим ещё три примера на освобождение пропорции от дробных членов.

Пример 1. 1 / 4: 3 / 8 = 20:30.

Приведём дроби к общему знаменателю:

2 / 8: 3 / 8 = 20: 30.

Умножив на 8 оба члена первого отношения, получим:

Пример 2. 12: 15 / 14 = 16: 10 / 7 . Приведём дроби к общему знаменателю:

12: 15 / 14 = 16: 20 / 14

Умножим оба последующих члена на 14, получим: 12:15 = 16:20.

Пример 3. 1 / 2: 1 / 48 = 20: 5 / 6 .

Умножим все члены пропорции на 48:

24: 1 = 960: 40.

При решении задач, в которых встречаются какие-нибудь пропорции, часто приходится для разных целей переставлять члены пропорции. Рассмотрим, какие перестановки являются законными, т. е. не нарушающими пропорции. Возьмём пропорцию:

3: 5 = 12: 20. (1)

Переставив в ней крайние члены, получим:

20: 5 = 12:3. (2)

Переставим теперь средние члены:

3:12 = 5: 20. (3)

Переставим одновременно и крайние, и средние члены:

20: 12 = 5: 3. (4)

Все эти пропорции верны. Теперь поставим первое отношение на место второго, а второе - на место первого. Получится пропорция:

12: 20 = 3: 5. (5)

В этой пропорции мы сделаем те же перестановки, какие делали раньше, т. е. переставим сначала крайние члены, затем средние и, наконец, одновременно и крайние, и средние. Получатся ещё три пропорции, которые тоже будут справедливыми:

5: 20 = 3: 12. (6)

12: 3 = 20: 5. (7)

5: 3 = 20: 12. (8)

Итак, из одной данной пропорции путём перестановки можно получить ещё 7 пропорций, что вместе с данной составляет 8 пропорций.

Особенно легко обнаруживается справедливость всех этих пропорций при буквенной записи. Полученные выше 8 пропорций принимают вид:

а: b = с: d; c: d = a: b ;

d: b = с: a; b: d = a: c;

a: c = b: d; c: a = d: b;

d: c = b: a; b: a = d: c.

Легко видеть, что в каждой из этих пропорций основное свойство принимает вид:

ad = bc.

Таким образом, указанные перестановки не нарушают справедливости пропорции и ими можно пользоваться в случае надобности.

Сегодня мы продолжаем серию видеоуроков, посвященных задачам на проценты из ЕГЭ по математике. В частности, разберем две вполне реальных задачи из ЕГЭ и еще раз убедимся, насколько важно внимательно читать условие задачи и правильно его интерпретировать.

Итак, первая задача:

Задача. Только 95% и 37 500 выпускников города правильно решили задачу B1. Сколько человек правильно решили задачу B1?

На первый взгляд кажется, что это какая-то задача для кэпов. Наподобие:

Задача. На дереве сидело 7 птичек. 3 из них улетело. Сколько птичек улетело?

Тем не менее, давай все-таки сосчитаем. Решать будем методом пропорций. Итак, у нас есть 37 500 учеников — это 100%. А также есть некое число x учеников, которое составляет 95% тех самых счастливчиков, которые правильно решили задачу B1. Записываем это:

37 500 — 100%
X — 95%

Нужно составить пропорцию и найти x . Получаем:

Перед нами классическая пропорция, но прежде чем воспользоваться основным свойством и перемножить ее крест-накрест, предлагаю разделить обе части уравнения на 100. Другими словами, зачеркнем в числителе каждой дроби по два нуля. Перепишем полученное уравнение:

По основному свойству пропорции, произведение крайних членов равно произведению средних членов. Другими словами:

x = 375 · 95

Это довольно большие числа, поэтому придется умножать их столбиком. Напоминаю, что пользоваться калькулятором на ЕГЭ по математике категорически запрещено. Получим:

x = 35 625

Итого ответ: 35 625. Именно столько человек из исходных 37 500 решили задачу B1 правильно. Как видите, эти числа довольно близки, что вполне логично, потому что 95% тоже очень близки к 100%. В общем, первая задача решена. Переходим к второй.

Задача на проценты №2

Задача. Только 80% из 45 000 выпускников города правильно решили задачу B9. Сколько человек решили задачу B9 неправильно?

Решаем по той же самой схеме. Изначально было 45 000 выпускников — это 100%. Затем из этого количества надо выбрать x выпускников, которые должны составить 80% от исходного количества. Составляем пропорцию и решаем:

45 000 — 100%
x — 80%

Давайте сократим по одному нулю в числителе и знаменателе 2-й дроби. Еще раз перепишем полученную конструкцию:

Основное свойство пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних. Получаем:

45 000 · 8 = x · 10

Это простейшее линейное уравнение. Выразим из него переменную x :

x = 45 000 · 8: 10

Сокращаем по одному нулю у 45 000 и у 10, в знаменателе остается единица, поэтому все, что нам нужно — это найти значение выражения:

x = 4500 · 8

Можно, конечно, поступить так же, как в прошлый раз, и перемножить эти числа столбиком. Но давайте не будем сами себе усложнять жизнь, и вместо умножения столбиком разложим восьмерку на множители:

x = 4500 · 2 · 2 · 2 = 9000 · 2 · 2 = 36 000

А теперь — самое главное, о чем я говорил в самом начале урока. Нужно внимательно читать условие задачи!

Что от нас требуется узнать? Сколько человек решили задачу B9 неправильно . А мы только что нашли тех людей, которые решили правильно. Таких оказалось 80% от исходного числа, т.е. 36 000. Это значит, что для получения окончательного ответа надо вычесть из исходной численности учеников наши 80%. Получим:

45 000 − 36 000 = 9000

Полученное число 9000 — это и есть ответ к задаче. Итого в этом городе из 45 000 выпускников 9000 человек решили задачу B9 неправильно. Все, задача решена.

Решение задачи с помощью пропорции сводится к тому, чтобы сделать неизвестное значение x членом этой пропорции. Затем используя основное свойство пропорции получить линейное уравнение и решить его.

Предварительные навыки Содержание урока

Как решить задачу с помощью пропорции

Рассмотрим простейший пример. Трем группам нужно выплатить стипендию по 1600 рублей каждому. В первой группе 20 студентов. Значит первой группе будет выплачено 1600 × 20, то есть 32 тыс. рублей.

Во второй группе 17 человек. Значит второй группе будет выплачено 1600 × 17, то есть 27,200 тыс. руб.

Ну и выплатим стипендию третьей группе. В ней 15 человек. На них нужно затратить 1600 × 15, то есть 24 тыс. руб.

В результате имеем следующее решение:

Для подобных задач решение можно записывать с помощью пропорции.

Пропорция по определению есть равенство двух отношений. К примеру, равенство является пропорцией. Эту пропорцию можно прочесть следующим образом:

a так относится к b , как c относится d

Аналогично можно соотнести стипендию и студентов, так чтобы каждому досталось по 1600 рублей.

Итак, запишем первое отношение, а именно отношение тысячи шестисот рублей на одного человека:

Мы выяснили, что для выплаты 20 студентам по 1600 рублей, нам потребуется 32 тыс. рублей. Значит второе отношение будет отношением тридцати двух тысяч к двадцати студентам:

Теперь соединим полученные отношения знаком равенства:

Мы получили пропорцию. Её можно прочесть следующим образом:

Тысяча шестьсот рублей так относятся к одному студенту, как тридцать две тысячи рублей относятся к двадцати студентам .

Понимай по 1600 рублей каждому. Если выполнить деление в обеих частях равенства , то обнаружим, что одному студенту, как и двадцати студентам достанется по 1600 рублей.

Теперь представим, что сумма денег, необходимых для выплаты стипендии двадцати студентам, была бы неизвестной. Скажем, если бы вопрос стоял так: в группе 20 студентов и каждому нужно выплатить по 1600 рублей. Сколько всего рублей требуется для выплаты стипендии?

В таком случае пропорция приняла бы вид . То есть, сумма денег, необходимая для выплаты стипендии, стала неизвестным членом пропорции. Эту пропорцию можно прочесть так:

Тысяча шестьсот рублей так относятся к одному студенту, как неизвестное число рублей относится к двадцати студентам

Теперь воспользуемся основным свойством пропорции. Оно гласит, что произведение крайних членов пропорции равно произведению средних:

Перемножив члены пропорции «крест-накрест», получим равенство 1600 × 20 = 1 × x . Вычислив обе части равенства, получим 32000 = x или x = 32000 . Иными словами, мы найдём значение неизвестной величины, которую искали.

Аналогично можно было определить общую сумму и для остального количества студентов — для 17 и 15. Эти пропорции выглядели как и . Воспользовавшись основным свойством пропорции, можно найти значение x

Задача 2 . Расстояние равное 100 км автобус проехал за 2 часа. Сколько времени потребуется автобусу, чтобы проехать 300 км, если будет ехать с той же скоростью?

Можно сначала определить расстояние, которое автобус проезжает за один час. Затем определить сколько раз это расстояние содержится в 300 километрах:

100: 2 = 50 км на каждый час движения

300 км: 50 = 6 часов

Либо можно составить пропорцию «сто километров так относятся к одному часу, как триста километров к неизвестному числу часов»:

Отношение одноименных величин

Если крайние или средние члены пропорции поменять местами, то пропорция не нарушится.

Так, в пропорции можно поменять местами крайние члены. Тогда получится пропорция .

Пропорция также не нарушится, если её перевернуть, то есть использовать обратные отношения в обеих частях.

Перевернем пропорцию . Тогда получим пропорцию . Взаимосвязь при этом не нарушается. Отношение между студентами равно отношению между суммами денег, предназначенных для этих студентов. Такую пропорцию часто составляют в школе, когда для решения задачи составляются таблицы

Этот способ записи очень удобен, поскольку позволяет перевести условие задачи в более понятный вид. Решим задачу в которой требовалось определить сколько рублей нужно для выплаты стипендии двадцати студентам.

Условие задачи запишем следующим образом:

Составим таблицу на основе этого условия:

Составим пропорцию, используя данные таблицы:

Используя основное свойство пропорции, получим линейное уравнение и найдем его корень:

Изначально, мы имели дело с пропорцией , которая составлена из отношений величин разной природы. В числителях отношений располагались суммы денег, а в знаменателях количество студентов:

Поменяв местами крайние члены, мы получили пропорцию . Эта пропорция составлена из отношений величин одной природы. В первом отношении содержатся количества студентов, а во втором — суммы денег:

Если отношение составлено из величин одной природы, то мы будем называть его отношением одноименных величин . Например, отношения между фруктами, деньгами, физическими величинами, явлениями, действиями.

Отношение может быть составлено, как из одноименных величин, так и из величин разной природы. Примерами последних являются отношение расстояния ко времени, отношения стоимости товара к его количеству, отношение общей суммы стипендии к количеству студентов.

Пример 2 . В школьном саду посажены сосны и березы, причём на каждую сосну приходится 2 березы. Сколько посадили сосен в саду, если берез посадили 240?

Определим сколько сосен было посажено в саду. Для этого составим пропорцию. В условии сказано, что на каждую сосну приходится 2 березы. Напишем отношение, показывающее что на одну сосну приходится две березы:

Теперь напишем второе отношение, показывающее что на x сосен приходится 240 берез

Соединим эти отношения знаком равенства, получим следующую пропорцию:

«2 березы так относятся к одной сосне,
как 240 берез относятся к x соснам»

Используя основное свойство пропорции, находим значение x

Либо пропорцию можно составить, предварительно записав условие, как в прошлом примере:

Получится та же пропорция, но в этот раз она будет составлена из отношений одноименных величин:

Значит в саду посадили 120 сосен.

Пример 3 . Из 225 кг руды получили 34,2 кг меди. Каково процентное содержание меди в руде?

Можно разделить 34,2 на 225 и полученный результат выразить в процентах:

Либо составить пропорцию 225 килограммам руды так приходятся на 100%, как 34,2 кг меди приходятся на неизвестное число процентов:

Либо составить пропорцию в которой отношения составлены из одноименных величин:

Задачи на прямую пропорциональность

Понимание отношений одноименных величин приводит к пониманию решения задач на прямую и обратную пропорциональность. Начнем с задач на прямую пропорциональность.

Для начала вспомним, что такое прямая пропорциональность. Это взаимосвязь между двумя величинами при которой увеличение одной из них влечет за собой увеличение другой во столько же раз.

Если расстояние в 50 км автобус прошел за 1 час, то для прохождения расстояния в 100 км (при той же скорости) автобусу потребуется 2 часа. Во сколько раз увеличилось расстояние, во столько же раз увеличилось время движения. Как показать это с помощью пропорции?

Одно из предназначений отношения заключается в том, чтобы показать во сколько раз первая величина больше второй. А значит и мы c помощью пропорции можем показать, что расстояние и время увеличились в два раза. Для этого воспользуемся отношением одноименных величин.

Покажем, что расстояние увеличилось в два раза:

Аналогично покажем, что время увеличилось во столько же раз

«100 километров так относятся к 50 километрам, как 2 часа относятся к 1 часу»

Если выполнить деление в обеих частях равенства , то обнаружим что расстояние и время были увеличены в одинаковое число раз.

2 = 2

Задача 2 . За 3 ч на мельнице смололи 27 т пшеничной муки. Сколько тонн пшеничной муки можно смолоть за 9 ч, если темп работы не изменится?

Решение

Время работы мельницы и масса перемолотой муки — прямо пропорциональные величины. При увеличении времени работы в несколько раз, количество перемолотой муки увеличится во столько же раз. Покажем это с помощью пропорции.

В задаче дано 3 ч. Эти 3 ч увеличились до 9 ч. Запишем отношение 9 ч к 3 ч. Это отношение будет показывать во сколько раз увеличилось время работы мельницы:

Теперь запишем второе отношение. Это будет отношение x тонн пшеничной муки к 27 тоннам. Данное отношение будет показывать, что количество перемолотой муки увеличилось во столько же раз, сколько и время работы мельницы

Соединим эти отношения знаком равенства, получим пропорцию .

Воспользуемся основным свойством пропорции и найдем x

Значит за 9 ч можно смолоть 81 т пшеничной муки.

Вообще, если взять две прямо пропорциональные величины и увеличить их в одинаковое число раз, то отношение нового значения к старому значению первой величины будет равно отношению нового значения к старому значению второй величины.

Так и в предыдущей задаче старые значения были 3 ч и 27 т. Эти значения были увеличены в одинаковое число раз (в три раза). Новыми значениями стали 9 ч и 81 ч. Тогда отношение нового значения времени работы мельницы к старому значению равно отношению нового значения массы перемолотой муки к старому значению

Если выполнить деление в обеих частях равенства, то обнаружим, что время работы мельницы и количество смолотой муки увеличилось в одинаковое число раз:

3 = 3

Пропорцию, которую составляют к задачам на прямую пропорциональность, можно описать с помощью выражения:

Где впоследствии стало равно 81.

Задача 2 . Для 8 коров в зимнее время доярка ежедневно заготовляет 80 кг сена, 96 кг корнеплодов, 120 кг силоса и 12 кг концентратов. Определить ежедневный расход этих кормов для 18 коров.

Решение

Количество коров и масса каждого из кормов — прямо пропорциональные величины. При увеличении количества коров в несколько раз, масса каждого из кормов увеличится во столько же раз.

Составим несколько пропорций, вычисляющих массу каждого из кормов для 18 коров.

Начнем с сена. Ежедневно для 8 коров его заготовляют 80 кг. Тогда для 18 коров будет заготовлено x кг сена.

Запишем отношение, показывающее во сколько раз увеличилось количество коров:

Теперь запишем отношение, показывающее во сколько раз увеличилась масса сена:

Соединим эти отношения знаком равенства, получим пропорцию:

Отсюда находим x

Значит для 18 коров нужно заготовить 180 кг сена. Аналогично определяем массу корнеплодов, силоса и концентратов.

Для 8 коров ежедневно заготовляют 96 кг корнеплодов. Тогда для 18 коров будет заготовлено x кг корнеплодов. Составим пропорцию из отношений и , затем вычислим значение x

Определим сколько силоса и концентратов нужно заготовить для 18 коров:

Значит для 18 коров ежедневно нужно заготавливать 180 кг сена, 216 кг корнеплодов, 270 кг силоса и 27 кг концентратов.

Задача 3 . Хозяйка варит вишнёвое варенье, причём на 3 стакана вишни кладёт 2 стакана сахара. Сколько сахара нужно положить на 12 стаканов вишни? на 10 стаканов вишни? на стакана вишни?

Решение

Количество стаканов вишни и количество стаканов сахарного песка — прямо пропорциональные величины. При увеличении количества стаканов вишни в несколько раз, количество стаканов сахара увеличится во столько же раз.

Запишем отношение, показывающее во сколько раз увеличилось количество стаканов вишни:

Теперь запишем отношение, показывающее во сколько раз увеличилось количество стаканов сахара:

Соединим эти отношения знаком равенства, получим пропорцию и найдем значение x

Значит на 12 стаканов вишни нужно положить 8 стаканов сахара.

Определим количество стаканов сахара для 10 стаканов вишни и стакана вишни

Задачи на обратную пропорциональность

Для решения задач на обратную пропорциональность опять же можно использовать пропорцию, составленнаю из отношений одноименных величин.

В отличие от прямой пропорциональности, где величины увеличиваются или уменьшаются в одну и ту же сторону, в обратной пропорциональности величины изменяются обратно друг другу.

Если одна величина увеличивается в несколько раз, то другая уменьшается во столько же раз. И наоборот, если одна величина уменьшается в несколько раз, то другая увеличивается во столько же раз.

Допустим, что нужно покрасить забор, состоящий из 8 листов

Один маляр будет красить все 8 листов сам

Если маляров будет 2, то каждый покрасит по 4 листа.

Это конечно же при условии, что маляры будут честными между собой и справедливо разделят эту работу поровну на двоих.

Если маляров будет 4, то каждый покрасит по 2 листа

Замечаем, что при увеличении количества маляров в несколько раз, количество листов которые приходятся на одного маляра уменьшаются во столько же раз.

Итак, мы увеличили количество маляров с 1 до 4. Другими словами, увеличили количество маляров в четыре раза. Запишем это с помощью отношения:

В результате количество листов забора, которые приходятся на одного маляра уменьшилось в четыре раза. Запишем это с помощью отношения:

Соединим эти отношения знаком равенства, получим пропорцию

«4 маляра так относятся к 1 маляру, как 8 листов относятся к 2 листам»

Задача 2 . 15 рабочих закончили отделку квартир в новом доме за 24 дня. За сколько дней выполнили бы эту работу 18 рабочих?

Решение

Количество рабочих и количество дней, затраченных на работу — обратно пропорциональные величины. При увеличении количества рабочих в несколько раз, количество дней, необходимых для выполнения этой работы, уменьшится во столько же раз.

Запишем отношение 18 рабочих к 15 рабочим. Это отношение будет показывать во сколько раз увеличилось количество рабочих

Теперь запишем второе отношение, показывающее во сколько раз уменьшилось количество дней. Поскольку количество дней уменьшится с 24 дней до x дней, то второе отношение будет отношением старого количества дней (24 дня) к новому количеству дней (x дней)

Соединим полученные отношения знаком равенства, получим пропорцию:

Отсюда находим x

Значит 18 рабочих выполнят необходимую работу за 20 дней.

Вообще, если взять две обратно пропорциональные величины и увеличить одну из них в определенное число раз, то другая уменьшится во столько же раз. Тогда отношение нового значения к старому значению первой величины будет равно отношению старого значения к новому значению второй величины.

Так и в предыдущей задаче старые значения были 15 рабочих и 24 дня. Количество рабочих было увеличено с 15 до 18 (т.е. было увеличено в раза). В результате количество дней, необходимых для выполнения работы, уменьшилось во столько же раз. Новыми значениями стали 18 рабочих и 20 дней. Тогда отношение нового количества рабочих к старому количеству равно отношению старого количества дней к новому количеству

Для составления пропорции к задачам на обратную пропорциональность можно пользоваться формулой:

Применительно к нашей задаче значения переменных будут следующими:

Где впоследствии стало равно 20.

Задача 2 . Скорость парохода относится к скорости течения реки, как 36: 5. Пароход двигался вниз по течению 5 ч 10 мин. Сколько времени потребуется ему, чтобы вернуться обратно?

Решение

Собственная скорость парохода составляет 36 км/ч. Скорость течения реки реки 5 км/ч. Поскольку пароход двигался по течению руки, то скорость его движения составила 36 + 5 = 41 км/ч. Время пути составила 5 ч 10 мин. Для удобства выразим время в минутах:

5 ч 10 мин = 300 мин + 10 мин = 310 мин

Поскольку на обратном пути пароход двигался против течения реки, то его скорость составила 36 − 5 = 31 км/ч.

Скорость парохода и время его движения — обратно пропорциональные величины. При уменьшении скорости в несколько раз, время его движения увеличится во столько же раз.

Запишем отношение, показывающее во сколько раз уменьшилась скорость движения:

Теперь запишем второе отношение, показывающее во сколько раз увеличилось время движения. Поскольку новое время x будет больше старого времени, в числителе отношения запишем время x , а в знаменателе старое время, равное трёхсот десяти минутам

Соединим полученные отношения знаком равенства, получим пропорцию . Отсюда найдём значение x

410 минут это 6 часов и 50 минут. Значит пароходу потребуется 6 часов и 50 минут, чтобы вернуться обратно.

Задача 3 . На ремонте дороги работало 15 человек, и они должны были закончить работу за 12 дней. На пятый день утром подошли еще несколько рабочих, и оставшаяся работа была выполнена за 6 дней. Сколько рабочих прибыло дополнительно?

Решение

Вычтем из 12 дней 4 отработанных дня. Так мы определим сколько ещё дней осталось работать пятнадцати рабочим

12 дней − 4 дня = 8 дней

На пятый день дополнительно прибыло x рабочих. Тогда всего рабочих стало 15 + x .

Количество рабочих и количество дней, необходимых для выполнения работы — обратно пропорциональные величины. При увеличении количества рабочих в несколько раз, количество дней уменьшится во столько же раз.

Запишем отношение, показывающее во сколько раз увеличилось количество рабочих:

Теперь запишем во сколько раз уменьшилось количество дней, необходимых для выполнения работы:

Соединим эти отношения знаком равенства, получим пропорцию . Отсюда можно вычислить значение x

Значит 5 рабочих прибыло дополнительно.

Масштаб

Масштабом называют отношение длины отрезка на изображении к длине соответствующего отрезка на местности.

Допустим, что расстояние от дома до школы составляет 8 км. Попробуем нарисовать план местности, где будут указаны дом, школа и расстояние между ними. Но изобразить на бумаге расстояние, равное 8 км мы не можем, поскольку оно довольно велико. Но зато мы можем уменьшить это расстояние в несколько раз так, чтобы оно уместилось на бумаге.

Пусть километры на местности на нашем плане будут выражаться в сантиметрах. Переведем 8 километров в сантиметры, получим 800 000 сантиметров.

Уменьшим 800 000 см в сто тысяч раз:

800 000 см: 100 000 см = 8 см

8 см это расстояние от дома до школы, уменьшенное в сто тысяч раз. Теперь без труда можно нарисовать на бумаге дом и школу, расстояние между которыми будет 8 см.

Эти 8 см относятся к реальным 800 000 см. Так и запишем с помощью отношения:

8: 800 000

Одно из свойств отношения гласит, что отношение не меняется если его члены умножить или разделить на одно и то же число.

В целях упрощения отношения 8: 800 000 оба его члена можно разделить на 8. Тогда получим отношение 1: 100 000. Это отношение и назовём масштабом. Данное отношение показывает, что один сантиметр на плане относится (или соответствует) ста тысячам сантиметров на местности.

Поэтому на нашем рисунке необходимо указать, что план составлен в масштабе 1: 100 000

1 см на плане относится к 100 000 см на местности;
2 см на плане относится к 200000 см на местности;
3 см на плане относится к 300000 на местности и т.д.

К любой карте или плану указывается в каком масштабе они сделаны. Этот масштаб позволяет определять реальное расстояние между объектами.

Так, наш план составлен в масштабе 1: 100 000. На этом плане расстояние между домом и школой составляет 8 см. Чтобы вычислить реальное расстояние между домом и школой, нужно 8 см увеличить в 100 000 раз. Иными словами, умножить 8 см на 100 000

8 см × 100 000 = 800 000 см

Получаем 800 000 см или 8 км, если перевести сантиметры в километры.

Допустим, что между домом и школой располагается дерево. На плане расстояние между школой и этим деревом составляет 4 см.

Тогда реальное расстояние между домом и деревом будет 4 см × 100 000 = 400 000 см или 4 км.

Расстояние на местности можно определять с помощью пропорции. В нашем примере расстояние между домом и школой будет вычисляться с помощью следующей пропорции:

1 см на плане так относится к 100000 см на местности, как 8 см на плане относятся к x см на местности.

Из этой пропорции узнаём, что значение x равно 800000 см.

Пример 2 . На карте расстояние между двумя городами составляет 8,5 см. Определить реальное расстояние между городами, если карта составлена в масштабе 1: 1 000 000.

Решение

Масштаб 1: 1 000 000 указывает, что 1 см на карте соответствует 1 000 000 см на местности. Тогда 8,5 см будут соответствовать x см на местности. Составим пропорцию 1 к 1000000 как 8,5 к x

В 1 км содержится 100000 см. Тогда в 8 500 000 см будет

Либо можно рассуждать так. Расстояние на карте и расстояние на местности — прямо пропорциональные величины. При увеличении расстояния на карте в несколько раз, расстояние на местности увеличится во столько же раз. Тогда пропорция примет следующий вид. Первое отношение будет показывать во сколько раз расстояние на местности больше расстояния на карте:

Второе отношение покажет, что расстояние на местности во столько же раз больше, чем 8,5 см на карте:

Отсюда x равен 8 500 000 см или 85 км.

Задача 3 . Длина реки Невы 74 км. Чему равняется ее длина на карте, масштаб которой 1: 2 000 000

Решение

Масштаб 1: 2000000 говорит о том, что 1 см на карте соответствует 2 000 000 см на местности.

А 74 км на это 74 × 100 000 = 7 400 000 см на местности. Уменьшив 7 400 000 в 2 000 000, мы определим длину реки Невы на карте

7 400 000: 2 000 000 = 3,7 см

Значит на карте, масштаб которой 1: 2 000 000 длина реки Невы составляет 3,7 см.

Запишем решение с помощью пропорции. Первое отношение будет показывать сколько раз длина на карте меньше длины на местности:

Второе отношение будет показывать, что 74 км (7 400 000 см) уменьшились во столько же раз:

Отсюда находим x равный 3,7 см

Задачи для самостоятельного решения

Задача 1. Из 21 кг хлопкового семени получили 5,1 кг масла. Сколько масла получится из 7 кг хлопкового семени?

Решение

Пусть x кг масла можно получить из 7 кг хлопкового семени. Масса хлопкового семени и масса получаемого масла — прямо пропорциональные величины. Тогда уменьшение хлопкового семени с 21 кг до 7 кг, приведет к уменьшению получаемого масла во столько же раз.

Ответ: из 7 кг хлопкового семени получится 1,7 кг масла.

Задача 2. На некотором участке железнодорожного пути старые рельсы длиной в 8 м заменили новыми длиной в 12 м. Сколько потребуется новых двенадцатиметровых рельсов, если сняли 360 старых рельсов?

Решение

Длина участка на котором производится замена рельсов равна 8 × 360 = 2880 м.

Пусть x двенадцатиметровых рельсов требуется для замены. Увеличение длины одного рельса с 8 м до 12 м приведет к уменьшению количества рельсов с 360 до x штук. Иными словами, длина рельса и их количество связаны обратно пропорциональной зависимостью

Ответ: для замены старых рельсов потребуется 240 новых.

Задача 3. 60% учеников класса пошли в кино, а остальные 12 человек – на выставку. Сколько учащихся в классе?

Решение

Если 60% учащихся пошли в кино, а остальные 12 человек на выставку, то на 40% учащихся и будут приходиться 12 человек, пошедших на выставку. Тогда можно составить пропорцию в которой 12 учащихся так относятся к 40%, как все x учащихся относятся к 100%

Либо можно составить пропорцию, состоящей из отношений одноименных величин. Количество учащихся и процентная доля изменяются прямо пропорционально. Тогда можно записать, что во сколько раз увеличилось количество участников во столько же раз увеличилась процентная доля

Задача 5. Пешеход затратил на путь 2,5 ч, двигаясь со скоростью 3,6 км/ч. Сколько времени затратит пешеход на тот же путь, если его скорость будет 4,5 км/ч

Решение

Скорость и время — обратно пропорциональные величины. При увеличении скорости в несколько раз, время движения уменьшится во столько же раз.

Запишем отношение, показывающее по сколько раз увеличилась скорость движения пешехода:

Запишем отношение, показывающее что время движения уменьшилось во столько же раз:

Соединим эти отношения знаком равенства, получим пропорцию и найдём значение x

Либо можно воспользоваться отношениями одноименных величин. Количество выпущенных станков и процентная доля, на которые эти станки приходятся, связаны прямо пропорциональной зависимостью. При увеличении количества станков в несколько раз, процентная доля увеличивается во столько же раз. Тогда можно записать, что 230 станков во столько раз больше, чем x станков, во сколько раз больше 115%, чем 100%

Ответ: по плану завод должен был выпустить 200 станков.

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках